Matematik öğretmenleri , öğrencileri ve tüm matematik sevenlerinin
buluşabileceği, tartışabileceği, aynı zamanda dosya paylaşabileceği bir
ortam. sizde bu sayfalardaki yerinizi hemen alın
[Tıklayın]
Günlük yaşamınızda sizden yaşça çok büyük insanların güçlü hafızaları sizi şaşırtıyor mu? Yaşlanınca hafızanızın da zayıflamasından mı korkuyorsunuz? Basit önlemler sayesinde uzun yıllar zihnen sağlıklı ve genç kalmak mümkün.
“RBeynin fonksiyonlarının zayıflamasının, beyin hücrelerinin azalması ile fazla ilgisi olmadığı, hücreler arasındaki bağlantının iyi çalışmasının önemli olduğu kabul edilmektedir. Monoton bir yaşantı insan beyninin en büyük düşmanıdır. Sürekli yeni şeyler öğrenme gayreti ve değişik konularla uğraşma, beyin fonksiyonlarının sağlığı ve sürekliliği açısından son derece önemlidir. Bu şekilde davranan insanlar daha geç yaşlanır. Beyni sağlıklı tutmak için hücreler arasındaki iletişimi devamlı canlı tutmak, başka bir ifade ile beyni çalıştırmak gereklidir. Genç yaşta beyin sporları ile uğraşan kişiler yaşlandıklarında da bu yeteneklerini daha uzun süre koruyabilmektedirler. Hemen hemen her yaşta yapılabilecek pek çok beyin sporu vardır. İşte size hafızanızı güçlendirmeniz için 15 öneri.
1- Meraklı olun
Çevrenizdeki olayları sorgulayarak zekanızı geliştirmeye çalışın. Yani meraklı olun, bir olayın niçin ve nasıl olduğunu öğrenmeye çalışın.
2 – Zeka oyunları oynayın
Gazete ve dergilerdeki zekâ oyunlarını oynamak için fırsat oluştırun.
3 – Numaraları ezberleyin
Yakınlarınızın telefon numaralarını ezberleyin.
YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →
Bitkiler hangi sayı dizisini kodluyor? Atlas’ın görüştüğü ünlü matematik profesörü Keith Devlin ve diğer uzmanlar doğadaki matematiğe ilişkin çarpıcı açıklamalar yaptı.
Kısa bir süre önce Kaliforniya Üniversitesi’nden gökbilimciler, galaksimizin çok detaylı bir haritasını çıkardı. Science dergisinde yayımlanan çalışmalara göre Samanyolu’nun spiral kolları sanıldığından çok daha uzun. Bilim insanları, çekim kuvvetinin galaksinin spiral yapısını oluşturduğuna inanıyor. Ancak araştırma ekibinden Leo Blitz, çekim kuvvetinin çok zayıf olduğunu sandıkları yerlerde bile spiral yapı gördüklerini belirtiyor. Yeni harita, galaksi kollarının logaritmik spiraller şeklinde olduğunu da gösteriyor. Logaritmik spiralin özelliği, sabit eğim açısı olması ve halkaları arasındaki uzaklığın geometrik dizi oluşturacak şekilde artması. Aslına bakarsanız, bu ilginç matematiksel eğriye birbirleriyle ilgisiz gibi görünen birçok olguda rastlanıyor. Galaksilerde, kasırgalarda, birçok deniz kabuğunda, fosillerde, boynuzlarda, tırnakta, ayçiçeğinin tohumlarının dizilişinde…
YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →
Nokta, doğru, çember, , 1, 2, 3 gibi kavramların doğada bulunduğuna inanan, ancak modern matematiğin doğada bulunduğuna inanmayanlar olabilir. Bu düşünceyi de paylaşmıyorum. Bu bölümde modern matematiğin bir zorunluluk olduğunu savunacağım.
Modern matematik matematik tarihinden soyutlanarak ele alınırsa, modern matematiğin yapay bir bilim olduğu kanısına varılabilir. Günümüzün soyut matematiğinin bir zorunluluk olduğunu anlamak için matematik tarihini incelemeliyiz. Çünkü matematiğin her kavramı daha önce tanımlanmış başka kavramlardan kaynaklanır ve bulunan her yeni kavram başka kavramların bulunmasına neden olur. Matematiğin her kavramının bir temeli, bir geçmişi, varoluşunun bir gerekçesi vardır. Hiçbir matematikçi durup dururken yeni bir kavram üretmez. Matematikçilerin tanımladıkları her kavram bir gereksinim sonucudur.
YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →
Günümüzün ileri teknolojisine matematik sayesinde eriştiğimiz gözönüne alınınca, matematiğin büsbütün doğadan bağımsız olmadığı da belli oluyor zaten. Matematiğin çok soyut kavramları bile zamanla uygulama alanı bulabiliyor. Bu da, elbette, matematiğin doğayı üç aşağı beş yukarı kavrayabildiğini, betimleyebildiğini, doğanın yasalarını gerçeğe oldukça sadık kalarak kâğıda dökebildiğini gösterir. Demek ki matematik, bir ölçüde bile olsa, doğayı anlamamızı sağlıyor. Doğada “bir” olsun veya olmasın, matematikteki “bir” kavramıyla tansıklar yaratılıyor: uzaya gidiliyor, gökdelenler dikiliyor, uydular aracılığıyla dünyanın bir köşesiyle öbür köşesi arasında ses ve görüntü bağlantısı kuruluyor… Matematik doğanın yasalarını ve mantığını anlamaya çalışan ve bunda da çok başarılı olan bir bilim dalı ve bir uğraştır.
Bu teknolojik gelişmelerin soyut matematikle değil, fizikle, kimyayla, mühendislikle ve uygulamalı matematikle gerçekleştiği ileri sürülebilir. Bu sav hem doğrudur hem yanlış. Bir yandan kuramsal ve soyut matematik en beklenmedik anda uygulama alanı bulabilmektedir, öte yandan gelecekte bile nasıl uygulanacağı bilinmeyen matematiksel araştırmalar yapılmaktadır. Aynı ikilem kuramsal fizik için de geçerlidir. Kaldı ki, teknolojiye uygulanan fizik, kimya ve mühendislik de ilk önce kâğıt üzerinde yapılıyor, uygulamaya sonra geçiliyor.
Matematiğin yararlarından bir başka yazımda sözedeceğimden bu konuyu kısa kesiyorum. Şimdilik şunu aklımızda tutalım: 1) Uygulanan matematik vardır, 2) Bugün uygulama alanı bilinmeyen soyut matematik vardır ve yapılmaktadır, 3) Bugün soyut sanılan matematik gelecekte doğrudan ya da dolaylı olarak uygulama alanı bulabilir (bulamayabilir de.)
İkinci bölümde matematiğin kaynağının bizim dışımızdaki dünya olduğunu söyledim. Bu savım yanlış anlaşılmasın: beynimizin dışdünyayı, bizim dışımızdaki gerçeği yorumlamadığını söylemiyorum. Cézanne’ın elmaları ve manzaraları, Picasso’nun ölüdoğaları (natürmortları) ve çıplakları doğanın aynen resmedilişi değildir, bir yorumdur. Matematik de resim gibi doğayı yorumlar. Örneğin iki nokta arasındaki uzay parçası matematikte bir sayıyla (iki nokta arasındaki uzaklıkla) ifade edilir. Elbette bir sayı ve bir uzay parçası arasında ayrım vardır. Burda bir yorum sözkonusudur.
Bir başka örnek vereyim: beş metre uzunluğunda bir cetvel üzerinde pi’nin yerini tam olarak gösteremeyiz. O zaman doğada fiziksel anlamda pi sayısının olup olmadığını nerden biliyoruz?
Biraz daha ileri gideyim. Doğada, fiziksel anlamda, 0’dan büyük ama 1/2’den, 1/3’ten, 1/4’ten ve genel olarak her n > 0 tamsayısı için 1/n’den küçük bir sayının olmadığını kabul ediyoruz. Yani, sonsuz küçük sayıların doğada fiziksel anlamda olmadıklarını kabul ediyoruz. Neden? Doğada fiziksel anlamda sonsuz küçük sayıların olmadığı nerden belli? Belki sonsuz küçük sayılar var da biz (sonsuz küçük olduklarından) gözlemleyemiyoruz. Bu bir olasılıktır. Hiç kimse bize doğada sonsuz küçük sayıların olmadığına güvence veremez .
Demek istediğim, doğadaki uzaklıkların bildiğimiz gerçel sayılarla ölçülebileceği varsayımının doğanın bir yorumu olduğudur.
Son bir örnek daha vereyim. Matematikte 3 sayısı {0,1,2} kümesi olarak, 2 sayısı {0,1} kümesi olarak, 1 sayısı {0} kümesi olarak tanımlanır. 0 sayısıysa Ø olarak, yani boşküme olarak tanımlanır. Görüldüğü gibi sayıların matematiksel tanımı bir yorumdur. “Üç”ün bir küme olarak tanımlanması ve hele {0,1,2} kümesi olarak tanımlanması için görünürde bir neden yoktur .
Demek ki matematik doğayı yorumlar, tam olarak betimlemez. Bu yorum kusursuz bir yorum olmayabilir, ama bir önceki bölümde de savunduğum gibi büsbütün kusurlu da değildir.
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu bir yana bırakalım önce. Matematik ve matematiksel kavramlar – doğada veya bir başka yerde – var mıdır? Bu soruyu ele alalım.
Hiç kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikçilerin uydurması olarak bile olsa, matematik ve matematiksel kavramlar vardır. “Bir” kavramı, “çember” kavramı, “pi” kavramı vardır. Matematiksel kavramlar – doğada olsunlar veya olmasınlar, matematikçilerin yaratısı olarak bile olsa, düşünce olarak bile olsa, soyut düzeyde bile olsa – vardırlar. Matematikçiler bu kavramları tanımlamışlardır. Bundan kuşkumuz yok. Zaten bu kavramlar olmasaydı matematiksel kavramların doğada olup olmadıkları sorusu sorulmazdı bile. Doğruluğu apaçık belli olan bu sözlerde derin bir gerçek aramasın okur, herkesin bildiğini yineliyorum.
Bu varolan kavramlar yoktan mı varolmuştur? Yoktan hiçbir şeyin varolmayacağını biliyoruz. En soyut düşünceler bile somuttan kaynaklanır. Matematiksel kavramlar da yoktan varolmamıştır. “Saf düşünce ürünü” diye bir şey yoktur, olamaz. Her düşünce ürünü bizim dışımızdaki gerçeklerden kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun, her soyut düşüncenin, her kavramın ana kaynağı doğadır, bizim dışımızdaki dünyadır. Bunun tersini düşünmek yoktan bir şeyin varolabileceğini düşünmek olur.
Her düşünce ürünü gibi matematiğin de kaynağı dış dünyamızdır. Yani matematik dış dünyadan tamamıyla bağımsız değildir. En azından matematiğin ana kaynağı matematikçinin dışındadır.
Matematiksel kavramlar doğada var mıdır? Olmadığını savunanlar var. Aşağı yukarı şöyle savunuyorlar:
Doğada matematiksel bir nokta yoktur örneğin. Çünkü matematiksel nokta boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de gözlemlenebilir. Kalemi kâğıda dokundurduğumuzda elde ettiğimiz “nokta” boyutludur, matematiksel nokta gibi boyutsuz değildir. Elektronun, üç boyutu ve az da olsa bir ağırlığı vardır. “İşte nokta” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur doğada. Doğada matematiksel nokta yoktur, olsa olsa çok küçük benekler vardır. “Nokta” kavramı insanların uydurması/yaratısıdır.
Doğada matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kâğıdın üstüne çizdiğimiz “düz” çizgi hem sonludur, hem düz değildir, hem de birden fazla boyutu vardır. Kalemimiz ne denli ince yazarsa yazsın, çizdiğimiz her “düz” çizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa matematiksel doğru bir boyutludur, genişliği ve yüksekliği yoktur.
Doğada “sonsuz” da yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki molekül, atom, elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuzu gösteremez, kimse sonsuza gidemez, kimse sonsuzda olduğunu düşünemez. Düşlerimiz bile sonluda yer alır.
Doğada pi sayısı da yoktur. Çünkü pi sayısı 3,141592653589… diye sonsuza uzayıp giden (uzayıp gitmesi gereken) bir sayıdır. Virgülden sonra gelen sayılar belli bir düzene göre de yinelenmezler. Bu yüzden, yani sonsuz olmadığından doğada pi de yoktur. Kimse pi’yi tam olarak yazamaz. pi’yi, bir çemberin (dairenin) çapına bölündüğünde elde edilen sayı olarak tanımlamak, pi’nin doğada olduğunu göstermeye yeterli değildir. Çünkü bir çemberi ve çapını hesaplayıp bölme işlemini yaptığımızda, pi’yi değil, pi’ye yaklaşık bir sayıyı buluruz. Kaldı ki doğada matematiksel anlamda bir çember yoktur! Doğada “işte çember” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur. Çember matematikçilerin yarattıkları bir kavramdır . Zaten uygulamada hiçbir zaman pi gibi gerçel sayılara gereksinmeyiz. 3,14159 = 314159/10000 gibi kesirli sayılar uygulamada yeterlidir. Bu da, pi’nin doğada olmadığı savını desteklemez mi?
YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →
FİBONACCİ kimdir?
Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Fibonacci İtalya’nın ünlü Pisa şehrinde doğmuştur. Çocukluğu babasının çalıştığı Cezayir’de geçmiştir. İlk matematik eğitimini Müslüman bilim adamlarından almış ve İslam aleminin kitaplarını incelemiş ve çalışmıştır. Avrupa’da Roma rakamları kullanılırken ve sıfır kavramı ortalarda yokken Leonarda Arap rakamlarını ve sıfırı öğrenmiştir.
1201 yılında “Liber Abacci” (cebir kitabı manasına gelir) adında bir matematik kitabı yazmıştır. Bu kitapla Avrupa’ya Arap rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini tanıtmıştır. Bu kitapta, ilkokulda öğrendiğimiz temel matematik ( toplama, çarpma, çıkartma ve bölme ) kurallarını bir çok örnek vererek anlatmıştır.
YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →
Köpekler matematiksel analiz yapabilir mi?
Bitkiler hangi sayı dizisini kodluyor?
Atlas’ın görüştüğü ünlü matematik profesörü Keith Devlin ve diğer uzmanlar doğadaki matematiğe ilişkin çarpıcı açıklamalar yaptı.
Kısa bir süre önce Kaliforniya Üniversitesi’nden gökbilimciler, galaksimizin çok detaylı bir haritasını çıkardı. Science dergisinde yayımlanan çalışmalara göre Samanyolu’nun spiral kolları sanıldığından çok daha uzun. Bilim insanları, çekim kuvvetinin galaksinin spiral yapısını oluşturduğuna inanıyor. Ancak araştırma ekibinden Leo Blitz, çekim kuvvetinin çok zayıf olduğunu sandıkları yerlerde bile spiral yapı gördüklerini belirtiyor. Yeni harita, galaksi kollarının logaritmik spiraller şeklinde olduğunu da gösteriyor. Logaritmik spiralin özelliği, sabit eğim açısı olması ve halkaları arasındaki uzaklığın geometrik dizi oluşturacak şekilde artması. Aslına bakarsanız, bu ilginç matematiksel eğriye birbirleriyle ilgisiz gibi görünen birçok olguda rastlanıyor. Galaksilerde, kasırgalarda, birçok deniz kabuğunda, fosillerde, boynuzlarda, tırnakta, ayçiçeğinin tohumlarının dizilişinde…
YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →
Matematik Sınıfları
Genel
Tarih ve Biyografi
Mantık ve Esaslar
Kümeler Kuramı
Kombinasyonlar, Grafik Kuramı
Düzen, Örgüler, Sıralı Cebirsel Yapılar
Genel Matematiksel Sistemler
Birleşmesiz Halkalar ve Cebirler
Kategori Kuramı, Homoloji Cebiri
Grup Kuramı ve Genelleştirmeler
Topolojik Gruplar, Lie Grupları
Gerçek Değişkenlerin Fonksiyonları
YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →
DOĞAL SAYILAR VE TAM SAYILAR-I
|
A) 52+37 B)35+53 C)510-310 |
|
2. a, b ve c negatif tamsayılardır. 4a=3b , 2a=5c ise, c aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz? |
|
|
|
|
|
|
|
|
YANITLAR : 1-D 2-D 3-D 4-C 5-E 6-E
* * *
* * *
* * *
* * *
