Matematikciler.COM

Aristotales’in tekerlek paradoksu

Yunanca Mechanica adlı, Aristo’ya ait olduğu şüpheli bir kitapta şu paradokstan söz edilir:
Tren tekerleği şekildeki farklı yarıçaplı eşmerkezli daireleri göz önüne alın (tekerlek ve jant gibi). Büyük dairenin üzerindeki her nokta ile küçük dairenin üzerindeki her nokta arasında bire bir tekabül bulunur. O halde büyük daire ne kadar yol aldıysa küçük daire de aynı miktarda yol almalıdır. Şekildeki yatay iki çizgi bir tam tur sonra alınan yolu göstermektedir. Büyük dairenin yarıçapı r1, küçük dairenin yarıçapı r2 ise büyük dairenin çevresi 2.p.r1, küçük dairenin çevresi 2.p.r2 olur. Çizgilerin boyları eşit olduğuna göre dairelerin çevreleri eşit ve dolayısıyla r1 = r2 olmalıdır.

Matematiksel olarak buradaki hata, iki çizgi üzerindeki noktaların bire bir tekabülünün iki eğrinin de eşit uzunlukta olmasını gerektirdiğini kabul etmekte yatıyor. Aslında herhangi bir uzunluktaki bir doğru parçasındaki noktaların hepsinin kardinaliteleri aynıdır (À1). İster sonsuz uzunlukta bir doğru, ister bir düzlem, ister 3 boyutlu bir uzay, isterse sonsuz boyutlu bir Öklid uzayı olsun yine fark etmez. Bunlardan herhangi birindeki noktalar diğerindeki noktalara bire bir tekabül eder; ancak bu, iki çizginin boylarının eşit olması demek değildir.
Tren tekerleklerine benzeyen ve her iki dairesi de rayın üzerinde dönebilecek biçimde düzenlenen bir tekerlek iki sonuçtan birini verir:

1. tekerlek kesinlikle döndürülemez, veya
2. dairelerden biri aynı yolun bir kısmında kayar.

Bir mahkum suçunun cezası olarak idama mahkum edilir. Yargıç idam kararını açıklarken mahkuma şunu söyler:

- Önümüzdeki yedi gün içinde herhangi bir gün saat 12 de asılacaksın ve asılacağın günü ancak aynı gün sabah 9 da rahipten öğreneceksin.

Mahkum yargıcın bu sözleri üzerine düşündüğü zaman asılmasının mümkün olmadığını anlar. Mahkum bunu neye dayanarak düşünmüştür?

Mahkum ilk olarak 7. gün asılacağını düşünür. Eğer 7. gün asılırsa bunu 7. günün sabahı öğrenmesi gerekir. Ancak 6. gün asılmamışsa 7. gün asılacağı bellidir ve hangi gün asılacağını önceden anlamış demektir. Yargıcın açıklamasına göre bu mümkün olmadığından 7. gün asılamaz.

Mahkum daha sonra 6. gün asılacağını varsayar. Ancak bu durumda eğer 5. gün asılmamışsa 7. gün asılamayacağına göre 6. gün asılacağı bellidir. Ama yargıcın açıklamasına göre hangi gün asılacağını önceden anlamaması gerekirdi. Bu durumda 6. gün asılacağı belli olan mahkumun aslında 6. gün asılmaması gerekir. Yukarıdaki çıkarımları 1. güne kadar getiren mahkum aslında hiçbir zaman asılmayacağını anlar.

Öğretmen Cuma günü şöyle diyor: “Gelecek hafta hiç ummadığınız bir gün sizi yazılı yapacağım.” …

Sınavın haftaya Cuma günü yapılamayacağı açık, çünkü Cumaya kadar sınav yapılmamışsa o gün herkes okula sınav olacağını bilerek gelecektir. Aynı nedenle Perşembe de yapılamaz, çünkü Cuma günü yapılacak sınav sürpriz olmayacağından Perşembe’ye kadar sınav olmamışsa öğrenciler sınavın o gün yapılacağına kesin gözüyle bakacaklardır, bu da Perşembe günü yapılacak sınavın sürpriz olmaması demektir. O halde sınav Perşembe’den önce yapılmalıdır. Ancak sınav Salı günü de yapılmamışsa Perşembe günü de yapılamayacağından Çarşamba günü yapılmalıdır. Bu da Çarşamba günü yapılacak sınavı sürpriz olmaktan çıkarır. Aynı şekilde mantık yürütürsek, Salı ve dolayısıyla Pazartesi günü yapılacak sınavın da sürpriz olamayacağı sonucuna varırız. Öyleyse öğretmen gelecek hafta sınav yapmayacaktır.

Fakat biraz düşünürsek, öğretmenin gelecek hafta yerine gelecek yıl demiş olması durumunda da aynı akıl yürütmeyle sürpriz bir sınavın yapılamayacağı sonucuna varırdık.

Ama bu saçmalık, çünkü hepimizin bildiği gibi her dönem 3 sınav olacağını bildiğimiz halde öğretmenin “çıkarın kağıtları, yazılısınız,” demesi her zaman sürprizdir.
Bu paradoks 50 yılı aşkın bir zamandan beri felsefecileri, matematikçileri ve mantıkçıları uğraştırmaktadır. Halen tatminkar bir çözüm bulunamamıştır

Dünyada her insan çeşitli sayılarda el sıkışmıştır, örneğin siz 500 veya 7897 defa el sıkışmış olabilirsiniz. Görüldüğü gibi bu sayı tek de olabilir, çift de.

Şunu iddia ediyoruz:

Dünyada şu ana kadar tek sayıda el sıkışmış olanların sayısı çifttir.

Neden mi? Çünkü;

Dünyadaki toplam el sıkışma sayısı çift olmak zorundadır, çünkü her el sıkışda iki kişi söz konusudur.

Çift sayıda el sıkmış olanların sıktığı ellerle tek sayıda el sıkmış olanların sıktığı ellerin toplamı toplam el sıkışma sayısını verecektir.

Çift sayıda el sıkışmış olanların sıktığı ellerin toplam sayısı da çift olmak zorundadır. (örneğin A,B ve C’nin sırası ile 2,4 ve 10 el sıktığını düşünelim, çift sayıların toplamı daima çift olacağından sonuç çifttir. 2+4+10=16. Bu örnekte 3 kişi almıştık, yani çift sayıda el sıkmışların sayısını tek seçmiştik. 3 değil 4 kişi alsaydık yani çift sayıda el sıkışmışların sayısını çift seçseydik toplam yine çift olurdu, örneğin A,B,C ve D 2,4,6,8 el sıkmış olsunlar 2+4+6+8=20 yine çifttir.

(Kural: terim sayısı tek olsun, çift olsun çift sayıların toplamı daima çift sayı verir). Toplam el sıkışma sayısı çift, çift sayıda el sıkışmışların sıktığı ellerin toplam sayısı da çift, o halde tek sayıda el sıkışmışların sıktığı ellerin toplam sayısı da çift olmalıdır. (Kural: toplam çiftse ve terimlerden biri de çiftse bu terimle toplanacak sayı da çift olmak zorundadır).

Acaba tek sayıda el sıkışmışların sıktığı ellerin toplamının çift olması için tek sayıda el sıkmış insanların sayısı nasıl olmalıdır, tek mi, çift mi?

Açıktır ki çift olmak zorundadır, çünkü kural şudur: tek sayıların toplamının çift bir sayı olabilmesi için terim sayısının çift olması gerekir. Örneğin A,B,C ve D sırası ile 7,5,1 ve 3 kere el sıkmışlarsa toplam 7+5+1+3=16 el sıkmışlardır. Görülüyor ki 4 kişi yerine 3 kişi seçseydik toplam 13 olurdu, yani tek bir sayı. O halde tek sayıda el sıkmış insanların toplam sayısı çift olmak zorundadır. (A,B,C,D… kişilerine kağıt üzerinde el sıkıştırıp tek sayıda el sıkanlarla çift sayıda sıkanları bu şemadan toplayın, daha iyi anlarsınız).

Bütün Sayılar Eşit mi?

a ve b birbirinden farklı herhangi iki tamsayı ve c de bunların farkı olsun:

a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)…………………………her iki tarafı (a-b) ile çarptık.
a²-2ab+b²=ac-bc………………………….parantezleri açtık.
a²-2ab+b²-ac=-bc………………………..ac yi sol tarafa attık.
a²-2ab-ac=-bc-b²………………………….b² yi sağ tarafa attık.
a²-ab-ac=ab-bc-b²………………………..2ab nin birini sağ tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)…………………………a ve b parantezine aldık.
a=b…………………………………………….(a-b-c) ler sadeleşti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri)

Karışık Bir Hesap
İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30′ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL’ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL’ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.)
Ertesi gün yine 30′ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:-”Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL’ye satalım.
Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar.
Yani:5 Kalem……………20 TL ise
60 Kalem…………..x TL’dir.
Buradan;x=(60.20)/5= 240 TL

Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

1 kg = 1 ton ???

1 kg = 1000 gr………….(1)
2 kg = 2000 gr………….(2)(1) ve (2) çarpılırsa:2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg…………(2.000.000 gr = 2.000 kg)
2 kg = 2 ton………………(2.000 kg = 2 ton). Dolayısı ile,
1 kg = 1 ton[/hr]