Matematikciler.COM

A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

bölme işleminde,

• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
• A = B . C + K dır.
• Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
• Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.
• K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden
kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki
basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden
kalana eşittir.

l… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5
ile bölümünden kalana eşittir.

5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 … a₄a₃a₂a₁a₀
sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k Î Z olmak üzere,

(a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄
+ 2a₅) + … = 7k

olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler
basamağı a2, … olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a₀ + 3a₁
+ 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) + …
işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların
(son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler
basamağı a, … olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının
8 ile bölü-münden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden
kalana eşittir.

8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir
sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 … a₄a₃a₂a₁a₀
sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a₀ + a₂ + a₄ + …) – (a₁ + a₃
+ a₅ + …)… = 11 . k

ve k Î Z olmalıdır.

® (n + 1) basamaklı anan–1 … a₄a₃a₂a₁a₀
sayı-sının 11 ile bölümünden kalan

(a₀ + a₂ + a₄ + …) – (a₁ + a₃
+ a₅ + …)… işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.

Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da
tam bölünür.

• 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.
• 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K₁, K₂ uygun koşullarda birer doğal sayı
olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K₁ ve

B nin C ile bölümünden kalan K₂ olsun.

Buna göre,

• A . B nin C ile bölümünden kalan K₁ . K₂ dir.
• A ± B nin C ile bölümünden kalan K₁ ± K₂ dir.
• D . A nın C ile bölümünden kalan D . K₁ dir.
• A^E nin C ile bölümünden kalan K₁^E
  dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan
bulunur.

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla
da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa
A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

• 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam
  bölünür.
• 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal
çarpanlarına ayrılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak
üzere,

A = a^m . bⁿ . c^k olsun.

• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1)
  dir.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.
• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :

• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin
  sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.
• A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

• A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: