Matematikciler.COM

Cebirsel İfadelerde Toplama ve Çıkarma işlemi

Bu konumuzda; Cebirsel ifadelerdeki toplama ve çıkarma işleminden bahsedeceğiz.

Cebirsel ifadelerdeki işlemleri yapmadan önce bazı bilgilere ihtiyacımız var. İsterseniz önce bunların tanımlarını bir verelim.

YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →

Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir.

Bunun ispatı şuna dayanmaktadır:

c2 = a2 + b2 c uzunluğu hipotenüstür. a ve b uzunlukları ise dik kenarlardır. Her kenardan birer kare oluşturulur. Bu karelerin alanları, kare alan formülüne dayalı olarak a2,b2,c2 şeklinde sıralanır. Böylece üç karenin köşelerinin birleşiminden oluşan bir dik üçgen oluşturulur. Oluşan üçgenin dik köşesinden hipotenüsün oluşturduğu karenin, hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde öklid bağıntısı kurulur. (öklid bağıntısı benzerlikten ispatlanabilmektedir.) Öklide göre
a2 = p(p + q)
yani, dik kenarlardan birinin karesi, dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin ayırdığı parçalardan kendisine komşu olan tarafın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir. Bu durumda

YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →

Kareden Kareköke

Daha önceki seneler bir karenin alanını bulmayı öğrenmiştiniz.
Karenin alanını bulurken bir kenarını kendisiyle çarpıyorduk ve buna kare alma işlemi diyorduk.

Örneğin karenin bir kenarı 3 ise alanı = 3.3=9 olarak bulunuyordu.
bu işleme kare bulma işlemi diyorduk.Veyahut “bir sayının karesi” olarak da adlandırılabiliyordu.

Karekök işlemi ise bunun tam tersidir.Yani karesi alınan bir sayının daha önceki halini bulma işlemine “karekök alma” denir.
Bunu göstermek için de bir sembol, bir şekil kullanılır.

isterseniz birkaç örneğe bakalım.

YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →

Olasılık ve olay çeşitleri
Olasılık çeşitleri

Olasılık çeşitleri “teorik olasılık” “deneysel olasılık” ve “öznel olasılık” olarak adlandırılır.

Şimdi bunları özetleyelim.

Basit bir örnek:

Bir metal para havaya atıldığında üst yüzün tura gelme ihtimali nedir?

sorunun cevabının 1/2 olduğunu hepimiz biliyoruz.
Bu bulduğumuz matematiksel sonuç “teorik olasılık” olarak adlandırılır.

Bunu şu şekilde yaparsak: bir arkadaşımız 100 kere parayı havaya atsın ve sonuçları not etsin.

tura gelme ihtimalini yine 1/2 ye yakın bulacaktır.

YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken kök içileri çok önemlidir.
Sadece kök içleri aynı olan sayılar birbirleriyle toplanır veya çıkartılabilir.

Kural ise aynı kesirlerin toplama ve çıkarma işlemine benzer.
Nasıl ki kesirler toplaıp çıkartılırken paydalar eşitlenip sabit kalıyorsa, köklü sayılarda da kök içleri aynı olursa işlem yapılabilir. Sonuç bulunurken kök içleri değişmez.

Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →

Kareköklü sayılarda çarpma işlemi

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemini önceden gördük.

Toplama ve çıkarma işleminde köklerin içindeki sayıların aynı olması gerekmekteydi.

Eğer aynı değilse kök içindeki fazlalıkları dışarı atarak, kök içlerini aynı yapmaya çalışıyorduk.

Kareköklü sayılardaki çarpma işleminde ise kök içlerinin aynı olma gibi bir şartı yok.

Tıpkı Rasyonel sayılardaki dört işlem gibi düşünelim bunu !

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken paydalar eşitlenirdi fakat çarpma ve bölme işleminde eşitleme şart değildi.

* Kareköklü sayılarda da kök içleri aynı olsa da olmasa da işlem yapılabilir.

Rasyonel sayılarda; pay ile pay, payda ile payda çarpılmaktaydı.

* Kareköklü sayılarda da kat sayılar birbiriyle ( kök önündeki sayılar ), kök içindeki sayılar da birbiriyle çarpılır.

* Bulunan sonucun kök içindeki sayı çarpma işleminden sonra kökten kurtulabilir. ( kök içinden dışarı çıkartılabilir )

Bizim hedefimiz her zaman köklü sayıyı mümkün olduğunca sade yazmaktır. Yani kökten kurtarmaktır.

isterseniz bunları aşağıdaki örneklerle daha net açıklamaya çalışayım sizlere.

YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →

Kareköklü sayılarda bölme işlemi

Kareköklü sayılarda çarpma işlemini gördük, bölme işleminin çok fazla farkı yok.
Çarpma işlemiyle aynı mantıkla işler.

Bölme işlemi yaparken;

Katsayılar ( kök dışındaki sayılar ) birbirine bölünür, kök içindeki sayılar da birbirine bölünür.

Bulunan sonuçlar ise uygun yere yazılır. Yani; katsayılar katsayı kısmına, kök içi de kök içindeki kısma yazılır.

Kareköklü sayılarda çarpma ve bölme işleminde aynı kök içindeki sayıları birbirinden ayırabiliriz, tam tersi olarak ayrı köktekileri aynı kök içine de alabiliriz.

isterseniz aşağıda yapılmış olan bölme işlemini inceleyelim.

YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →

Gerçek Sayılar

Gerçek sayı nedir?

Bunun cevabını vermeden önce daha önce duymadığımız bir terim olan “irrasyonel” sayıları anlayalım.

“ir” olumsuzluk ekidir ve “irrasyonel sayılar” rasyonel olmayan sayılar anlamına gelir.

Yani rasyonel olmayan bir sayı bulursak buna irrasyonel sayı diyeceğiz.

Geçen seneden “pi” sayısını hatırlayın. Pi sayısı 3, 1415926535897932384626433… diyerek uzayıp gidiyordu ve hiç sonunu bulamıyorduk.

Eğer belli bir yerden sonra devretseydi devlirli ondalık sayı derdik.

YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →

STANDART SAPMA NEDİR?

İki veri grubunun aritmetik ortalamalarının eşit veya birbirine yakın olması durumunda veri gruplarında yer alan çok küçük ve çok büyük değerler, verilerin dağılımını etkiler. Bu durumda verilerin düzgün bir dağılım gösterip göstermediğini belirlemek için açıklık, çeyrekler açıklığı gibi merkezi yayılma ölçülerine bakılır. Açıklık ve çeyrekler açıklığı değerleri veri gruplarının üst ve alt bölgelerinde yer alan ve verilerin yayılımını etkileyen değerler hakkında yeterli bilgi vermeyebilir. Bu durumda merkezi yayılma ölçüsü olan standart sapma hesaplanır. Standart sapma, verilerin aritmetik ortalamaya göre nasıl bir yayılım gösterdiğini anlatır.

STANDART SAPMA NASIL HESAPLANIR?

Standart sapma hesaplanırken izlenecek adımlar, maddeler:
1) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.
2) Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.
3) Bulunan farkların her birinin karesi alınır ve elde edilen sayılar toplanır.
4) Bu toplam, veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve bölümün karekökü bulunur.

örnek:

Yukarıda 2 koşucunun 10 puan üzerinden performansları verilmiştir.Burada hangi koşucunun daha başarılı olduğunu bulalım.

1.Koşucu:

Madde1: Aritmetik ortalama:sayıların toplamı / sayıların adedi

Aritmetik ortalama:60 / 10 = 6

Madde 2: veri – aritmetik ortalama

6-6=0

4-6=-2

6-6=0

7-6=1

6-6=0

5-6=-1

8-6=2

6-6=0

5-6=-1

7-6=1

Madde 3: farkların karesi toplanır.

0+4+0+1+0+1+4+0+1+1=12

Madde 4: 12 sayısı veri sayısının 1 eksiğine bölünür.

12 / 10-1= 12 / 9= 1,3

1,3 kökün içine alınır ve kök dışına çıkartılır. Buda 1,14 olur.

Standart sapma 1. koşucu için yaklaşık 1,14

2.Koşucu:

Madde1: Aritmetik ortalama:sayıların toplamı / sayıların adedi

Aritmetik ortalama:60 / 10 = 6

Madde 2: veri – aritmetik ortalama

9-6=3

4-6=-2

6-6=0

6-6=0

3-6=-3

5-6=-1

8-6=2

2-6=-4

10-6=4

7-6=1

Madde 3: farkların karesi toplanır.

9+4+0+0+9+1+4+16+16+1=60

Madde 4: 60 sayısı veri sayısının 1 eksiğine bölünür.

60 / 10-1= 60 / 9= 6,6

6,6 kökün içine alınır ve kök dışına çıkartılır. Buda 2,57 olur.

Standart sapma 2. koşucu için yaklaşık 2,57

Burada 1.koşucunun standart sapması daha düşük olduğu için tutarlıdır.Yani 1.koşucu daha başarılıdır.

Yansıma: Bir şeklin belli bir referans noktasına göre görüntüsüdür.

En basit örneği ise aynadaki görüntümüzdür.

Koordinat sistemineki bir şeklin x ekseni üzerindeki görüntüsünün nasıl olacağına bir bakalım.

Koordinat sisteminin 1. bölgesine aşağıdaki gibi bir dikdörtgen çizelim.

Koordinatları:

YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →

Histogram oluşturalım.
Önce şu soruya cevap verelim.
Histogram nedir?

Histogram:Grafiklerin dikdörtgen bloklar ( sütunlar ) halinde gösterilmesidir.
Histogram oluştururken öncelikle sayısal verielre ihtiyacımız vardır.
Verilerimizin hazır olduğunu düşünelim.

* Önce verimizin açıklığını bulalım: Açıklık verideki en büyük değerden en küçük değerin çıkartılmasıyla oluşturulur.

* Şimdi elimizdeki mesafe belli olduğuna göre; bu mesafeyi kaça böleceğimizi belirleyelim.Kaç tane sütun olmasını istiyorsanız o sayıya bölelim.
* Bulacağımız sayı hangi aralıklarla sütun oluşturacağımızı anlatır.
* Sonrasında ise her aralıkta kaç sayı varsa grafikte yerleştirilir.
* Sonrasında grafik çizilir.

YAZININ TAMAMINI OKUMAK İÇİN BURAYA TIKLAYIN →