Matematikciler.COM

STANDART SAPMA NEDİR?

İki veri grubunun aritmetik ortalamalarının eşit veya birbirine yakın olması durumunda veri gruplarında yer alan çok küçük ve çok büyük değerler, verilerin dağılımını etkiler. Bu durumda verilerin düzgün bir dağılım gösterip göstermediğini belirlemek için açıklık, çeyrekler açıklığı gibi merkezi yayılma ölçülerine bakılır. Açıklık ve çeyrekler açıklığı değerleri veri gruplarının üst ve alt bölgelerinde yer alan ve verilerin yayılımını etkileyen değerler hakkında yeterli bilgi vermeyebilir. Bu durumda merkezi yayılma ölçüsü olan standart sapma hesaplanır. Standart sapma, verilerin aritmetik ortalamaya göre nasıl bir yayılım gösterdiğini anlatır.

STANDART SAPMA NASIL HESAPLANIR?

Standart sapma hesaplanırken izlenecek adımlar, maddeler:
1) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.
2) Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.
3) Bulunan farkların her birinin karesi alınır ve elde edilen sayılar toplanır.
4) Bu toplam, veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve bölümün karekökü bulunur.

örnek:

Yukarıda 2 koşucunun 10 puan üzerinden performansları verilmiştir.Burada hangi koşucunun daha başarılı olduğunu bulalım.

1.Koşucu:

Madde1: Aritmetik ortalama:sayıların toplamı / sayıların adedi

Aritmetik ortalama:60 / 10 = 6

Madde 2: veri – aritmetik ortalama

6-6=0

4-6=-2

6-6=0

7-6=1

6-6=0

5-6=-1

8-6=2

6-6=0

5-6=-1

7-6=1

Madde 3: farkların karesi toplanır.

0+4+0+1+0+1+4+0+1+1=12

Madde 4: 12 sayısı veri sayısının 1 eksiğine bölünür.

12 / 10-1= 12 / 9= 1,3

1,3 kökün içine alınır ve kök dışına çıkartılır. Buda 1,14 olur.

Standart sapma 1. koşucu için yaklaşık 1,14

2.Koşucu:

Madde1: Aritmetik ortalama:sayıların toplamı / sayıların adedi

Aritmetik ortalama:60 / 10 = 6

Madde 2: veri – aritmetik ortalama

9-6=3

4-6=-2

6-6=0

6-6=0

3-6=-3

5-6=-1

8-6=2

2-6=-4

10-6=4

7-6=1

Madde 3: farkların karesi toplanır.

9+4+0+0+9+1+4+16+16+1=60

Madde 4: 60 sayısı veri sayısının 1 eksiğine bölünür.

60 / 10-1= 60 / 9= 6,6

6,6 kökün içine alınır ve kök dışına çıkartılır. Buda 2,57 olur.

Standart sapma 2. koşucu için yaklaşık 2,57

Burada 1.koşucunun standart sapması daha düşük olduğu için tutarlıdır.Yani 1.koşucu daha başarılıdır.

Tekrarlı sayılardan oluşan elimizdeki verileri, genelde çetele tabloları kullanarak oluşturduğumuz veri grupları içine dahil edip bu gruplardaki verilerin sayılarının kullanılması ile elde edilen sütun grafiklerine histogram adı verilir.
Anlaşılacağı gibi çetele tablosundaki verilerin sütun grafiğine aktarılması yani oluşan sütun grafiklerine histogram denir.
Veri grubunun genişliği vardır. Bu genişliği belirlemek için veri grubunun açıklık değerini, kaç grup oluşturmak istiyorsak bu sayıya böleriz. Bölme işlemindeki bölüme en yakın ve büyük olan sayı veri gruplarının genişliği olarak alınır. Burada genişlik  tek sayıda olabilir çift sayıda olabilir. Veri gruplarının genişliğinin küçük olması dağılımı daha iyi anlatan histogramlar oluşturur. Genişlik azaldıkça grafik görsel yönden daha iyi anlaşılır.
Örneğin, açıklık değerini grup sayısına böldüğümüzde bölüm yani genişlik 4,8 çıktı ise 5 ; 7,2 çıktı ise 8 ; 9 çıktı ise 9 alcaz. Hep bir üstü tam sayıyı alcaz, ondalık sayı değilde tam çıkarsa o sayıyı alcaz.
Açıklık değeri, veri grubunu küçükten büyüğe sıraladığımızda en büyük değerden en küçük değer çıkarılır.
Örnek: Bir sınıftaki 20 öğrencinin boyları verilmiştir. Bu verileri sıralayalım;
142,143,145,145,147,148,155,155,156,160,
162,163,163,167,169,169,170,170,172,175
histogramını oluşturacağız.
Önce verilerin açıklık değerini hesaplayalım: 175-142=33
Veri gruplarının sayısı 4 olsun. Açıklık değerini grup sayısına bölerek veri grubunun genişliğini bulcaz: 33/4=8,25
8,25 bundan büyük olan sayıyı yani 9′u alcaz. Genişlik 9′dur.
Şimdi çetele tablosu oluşturcaz.
Boy uzunlukları:           

Bu değerleri grafiğe aktarıp sütunlar çizeceğiz. Grafikte dikey eksen kişi sayısını, yatay eksen boy uzunluklarını gösterecek. Sonuç olarak sütunlardan oluşan grafiğimiz histogramdır.

Cebir (Orta) - Parantezler
 

Parantezler

Parantezler terimleri gruplandırmak için kullanılır.Eğer parantezi kaldırmak istiyorsak, parantezin içindeki tüm terimler parantezin dışındaki katsayı ile çarpılmalıdır.

3 (y + 2) = 3 x y + 3 x 2 = 3y + 6

y ve + 2, 3 ile çarpıldı.

Parantezli Denklemler

Örnek 1: 5 (y – 3) = 20 Denklemini çözünüz.
Parantezi kaldırın.

Not: Burada p + 4 ifadesi bir bütündür. 4′ü ayıramayız.

Çarpım Şeklindeki Parantezler

Not: İkinci parantezi önce y ile sonra 3 ile çarpın.

Not: Burada -3 ile çarptık. Böylece, ikinci parantezli ifadenn önündeki işaret değişir.

Fibonacci Sayı Dizisi

Fibonacci sayı dizisinin Leoardo Fibonacci tarafından bir problemin çözümünde bulunduğunu ve bu sayıların 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… şeklinde (ilk iki sayı hariç) kendinden önce gelen iki sayının toplamı şeklinde ilerlediği görülmektedir.

Leonardo Fibonacci’nin tavşanların üremesi üzerinde incelediği bu sayı dizisi diğer başka hayvan türlerinde de uygulanabilmektedir.


Aşağıda verilen örnek bal arılarının çoğalmasıyla ilgilidir.

• Her erkek arı sadece bir dişiden meydana gelmekte, yani tek ailesi bulunmaktadır.
• Her dişi arı ise bir anne ve bir babadan meydana gelmekte ve iki ailesi bulunmaktadır.

Bu durumda arıların üreme şemasını çıkaracak olursak yandaki biçim ortaya çıkacaktır:

Şemada da görüldüğü gibi oluşan sayılar 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987.. dizisini, yani Fibonacci sayılarını oluşturmaktadır. 

Örnek:

Pascal Üçgeni

Pascal üçgeni, binom açılımındaki katsayıları bulmaya yarar.Pascal üçgenindeki sayılar kendi üstündeki sayıların toplanarak yazılmasıyla elde edilir. Her satırın başına ve sonuna 1 yazılır.
Pascal üçgeni olarak bilinen, bu üçgen ile ilgili Pascal’ dan öncede çalışmalar yapılmıştır. Çinli bilim adamlarından Pingala, Müslüman bilim adamlarından Ömer Hayyam gibi bir çok bilgin bu üçgen üzerinde incelemeler yapmıştır. Blaise Pascal ise kendinden önceki çalışmaları toplayıp farklı alanlarda ki uygulamalarını keşfetmiştir. Uygulama alanları içinde Olasılık, Alt küme hesabı, İki terimli bir harfli ifadenin kuvvetlerinin hesabı gibi farklı kullanım alanları vardır.

Örneğin;
s(A)=3 …………1…..3…..3…..1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane

Üstteki 1 hariç 3.satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo A kümesinin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,3 elemanlı alt kümelerinin sayısını gösterir.

Örnek:


ARİTMETİK DİZİ

Ardışık her iki terimi arasındaki fark eşit olan diziye aritmetik dizi denir.

Yani her n pozitif tam sayısı için,a

a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ =….= a_n+1 – a_n = d

olacak şekilde bir dЄIR varsa, (a_n) dizisine aritmetik dizi;

d sayısına da aritmetik dizinin ortak farkı denir.

GENEL TERİMİ

İlk terimi a₁ ve ortak farkı d olan (a_n) aritmetik dizisinin genel terimini a₁ ve d türünden bulalım:

a₁= a₁

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₂ + d= (a₁ + d) + d= a₁ + 2d

a₄ = a₃ + d= (a₁ + 2d) + d= a₁ + 3d

a_n = a₁ + (n-1).d

Örnekler:

GEOMETRİK DİZİ

Ardışık her iki terimi arasındaki oran eşit olan diziye geometrik dizi denir.

Yani her n pozitif tam sayısı için,

a₂/ a₁ = a₃/ a₂= a₄/ a₃=….= a_n+1/ a_n = r (a_n sıfırdan farklı)

olacak şekilde bir  rЄIR – {0} varsa, (a_n) dizisine geometrik dizi;

r sayısına da geometrik dizinin ortak çarpanı ya da ortak oranı denir.

GENEL TERİMİ

İlk terimi a₁ ve ortak oranı r olan (a_n) geometrik dizisinin genel terimini a₁ ve r türünden bulalım:

a₁= a₁

a₂ = a₁ . r

a₃ = a₂ . r= (a₁ . r) . r= a₁ . r²

a₄ = a₃ . r= (a₁ . r²) . r= a₁ . r³

a_n = a₁ . r^n-1  

Örnekler:

Sayı Örüntüsü Soruları

Fraktallar ve Doğa

Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş veya büyütülmüş modelleriyle inşa edilen örüntülere fraktal adı verilir. Halı veya kilim desenlerini, pisagor ağacını fraktallara örnek verebiliriz.Bir cismi oluşturan parçalar ya da bileşenlerin cismin tamamına benzemesi matematikte “fraktal” olarak adlandırılır.Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde tekrarlanır. Öyle ki bütünün her bir parçası büyütüldüğünde yine cismin bütününe benzer. Fraktal terimi parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince “fractus” sözcüğünden türetilmiştir.

Ilk olarak 1975’te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil fizikokimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etki-ler meydana getiren yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır. Bu tanımlar ışığında gözlerimizi tabiata çevirdiğimizde sayısız fraktal cisimlerle, hatta manzaralarla karşılaşırız. Kar tanelerinin kristal şekilleri kendi başlarına birer fraktaldır. Bir ağaç, bir gövdeye, onun üzerinde birkaç ana dala, her bir ana dalın üzerindeki daha ince dallara ve onların da üzerinde bu şekilde çoğalan nice dallara sahiptir. Baktığınızda bu ağacın geometrisi bir kaos ve düzensizlik içindedir. Ağaçtan bir dal koparıp onu incelediğinizde o dal parçası şekil olarak ağacın kendisine benzemekte ve adeta minyatür bir ağaç oluvermektedir. Bu dal parçasının kendine ait bir gövdesi, kolları ve daha ince dalları vardır. Belirli bir ağacın şekli üzerinde tohumdaki genetik program, alabildiği güneş ışığı, iklim koşulları, maruz kalınan hastalıklar, toprak koşulları, diğer ağaçların konumu vb. de dahil olmak üzere birbirine bağlı birçok karmaşık etken rol oynar. Akciğerlerimizdeki bronş ve bronşcuklar da ağaçlardaki gibi fraktal uzanıma sahiptir. Akarsular da yatakları boyunca kollara derelere çaylara ve daha küçük kanallara bölünür. Bir dere ya da nehir tek başına incelendiğinde o da nice kollara ayrılır. Benzer durum vücudumuzdaki damar sisteminde de mevcuttur. Çöllerdeki kumların rüzgar nedeni ile aldığı şekiller ve sakin bir havada denizdeki dalgaların şekilleri de fraktal yapıya birer örnek olarak verilebilir. Tabiatta var olması mümkün olan çok geniş ve eşsiz bir fraktal dağılım bulunmaktadır. Özellikle bilgisayar ekranlarında matematiksel formüllerle üretilen bazı fraktal biçimlerde eşsiz olma durumu bir dereceye kadar mekaniktir. Doğadaki ve sanattaki diğer fraktallerde kendi kendine benzerlik, bu tanıma baş kaldırırcasına farklı olan şeylerle bir arada bulunur. Mikroevren ve Makroevren arasındaki benzersiz fraktal yapılar dinamik bir sistemin içinde meydana gelen karmaşık ilişkilerin hepsinin bir ürünüdür. Gerçekliğin fraktal özelliklerine dikkat etmek; dünyayı oluşturan ve onu bir arada tutan gizemli, tahmin edilmez hareketi bir anlığına görmenin bir yoludur. Fraktal şekiller bilgisayar yardımı ile matematiksel olarak da modellenebilmektedir. Matematiksel fraktallar etkileyicidir, ama tekrar tekrar gördükten sonra böyle bir objenin tazeliği solar. Aynı durum, karmaşık bir süreçten ortaya çıkan, bu sayede sayısız “bölüm” ün birbirleriyle karşılıklı bağlantı içerisinde olan doğanın yaradılışları için söz konusu değildir; bu, bir algoritmanın tekrarlanması ile üretilen matematiksel bir taklide karşı hakiki kaosdur. Sonuç olarak, doğal fraktaller eşşizlik, kendiliğindenlik, derinlik ve gizem niteliğine sahiptir. Bu noktada karşımıza ‘kaos’ kavramı çıkmaktadır. Örnekleri verilen fraktal yapının bütününe ve parçalarına ait bir kural ortaya konamaz. Fraktal gelişim yani daha küçük benzer yapıların oluşma süreçleri daha önceden belirlenemez ve öngörülemezler. Günlük dilde kaosu, dağınıklık, kargaşa, keşmekeş, başıbozukluk, düzensizlik, hercümerç, dağdağa sözcüklerine yakın bir mana vererek, olumsuz durumlar için kullanıyoruz. Kaos Yunanca’da (khaos), yarık, boşluk, uçurum, hudutsuzluk, ıssızlık, girdap manalarını taşı-yor. Günlük dilden geçmiş olmakla birlikte kaos terimi, denetlenemeyen, öngörülemeyen küçük değişikliklerin büyük sonuçlara yol açtığı veya büyük değişikliklerin bir şey olmamışçasına yavaş yavaş kaybolduğu bir dünyanın kapısını aralamaya cesaret eden bilimcilerin dilinde farklı bir anlam kazanır. Kaos, hareketler, taşınmalar, doğumlarla; büyümeler, yıpranmalar, başkalaşmalarla; onarmalar, iyileşmeler, kırılmalar, yıkılışlar, patlamalar, heyelanlarla ilgilidir. Kaos için en kısa ve etkili olan “dü-zensizliğin düzeni” tanımıdır. Kaos, kuralsız bir başlangıcı, tahmin edilemez bir gelişimi ve artan bir karmaşıklığı anlatmaktadır. Kaosun tanımı entropiyi de hatırımıza getirmektedir. Entropi de kısaca bir sistemin ki bu sistem evrenin kendisi olabileceği gibi bir molekül ya da hareketli cisimler grubu da olabilir- düzensizliğindeki artışın bir göstergesidir. Entropi her ne kadar evrendeki termodinamik yasalar için kullanılsa da genel manada düzensizliğin artışını anlatan bir kavramdır. Tabiatta bir başlangıçı olan her varlık ve ona ait gelişim süreci geri dönüşü olmayan bir kaosa ve entropiye sahiptir. Büyüme, gelişme ve çoğalma zaman içerisinde karmaşık bir yapılaşmayı getirecektir. Tabiattaki bu kaos bizim anladığımız anarşi içeren değil aksine birbiri ile uyumlu, işbirliği yapan, birbirine destek olan ve en mükemmel estetiği içinde barındıran bir haldir. Karmaşık süreçlerin bildiğimiz fiziksel ve matematiksel kurallara hapsolmamış olması özgürlük kavramının tabiatta en doğru olarak bize anlatılmasıdır. Kalıplar yok, birbirinin benzeri olsa da hiçbirşey aynı değil, her parça ayrı bir yol izlese de ortak olarak bir bütünü oluşturup onu geliştiriyorlar. Hiçbir eleman bir diğerinin gelişimini engellemediği gibi, birbirlerine destek oluyor. Her bir farklılık bütünü daha da zenginleştirmektedir. Kaosta aslında bir düzen var; fakat bunu zihinlerimizde bir fomüle oturtamıyor oluşumuz ona bir düzensizlik sıfatı da eklememize neden oluyor. Tabiatın bu karakterinde bir rastgelelik görünse de sezdiğimiz ama, henüz anlayamadığımız planlar ve hesaplar bu kaosun her bir ferdinin varlığında mevcuttur. Tabiatı seyrederken ve incelerken bakışlarımızı ayrıntılara, bütünün parçalarına hatta parçaların da daha küçük elemanlarına yöneltiğimizde bilip gördüğümüzden daha zengin daha görkemli bir doğa göreceğiz.

FRAKTAL ÖRNEKLERİ

FRAKTAL RESİMLERİ