Matematikciler.COM

TÜREV, TÜREV ALMA, TÜREV ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

TÜREV VE UYGULAMALARI

TANIM: y = f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli, x₀ (a,b) olsun.

limiti bir gerçel sayı ise,

bu limite y = f(x) fonksiyonunun x = x₀ noktasındaki TÜREVi denir ve f�(x₀) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK:

f : R R, f(x) = -x² + 2 fonksiyonunun x₀ = 1 noktasındaki türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f(1) = - 1² + 2 = 1

f�(1)

NOT:

 f�(x₀) =

ise,

ise

ÖRNEK:

f(x) = |x² � 4| fonksiyonu verilir.

a) f�(2) = ?                        b) f�(1) = ?

ÇÖZÜM:

a) f (2) =|2² � 4| = 0 olduğu için fonksiyonun x = 2 noktasında türevi yoktur.

b)

TÜREV ALMA KURALLARI:

1) c R olmak üzere

f (x) = c f�(x) = 0

2) f (x) = x f�(x) = 1

3) f (x) = cx f�(x) = c

4) f (x) = c . xⁿ f�(x) = c . n . x^n-1

5) f (x) = c . uⁿ f�(x) = c . n . u^n-1 . u�_x

6) f (x) = u v f�(x) = u�_x v�_x

7) f (x) = u . v f�(x) = u�_x . v + v�_x . u

f (x) = u . v . t f�(x) = u�_x . v. t + v�_x . u . t + t�_x . u . v

9) f (x) =

10) f (x) =

ÖRNEKLER:

1. f (x) = 5 f�(x) = 0

2. f (x) = f�(x) = 0

3. f (x) = x⁵ f�(x) = 5x⁴

4. f (x) = x f�(x) = 1

5. f (x) = 2x f�(x) = 2

6. f (x) =

7. f (x) = x⁴ � x³ + 2x � 3 fonksiyonunun türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f�(x) = 4x³ � 3x² + 2

8. f (x) = (3x² + 5)¹¹ fonksiyonunun türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f�(x) = 11 (3x² + 5)¹⁰ . (3x² + 5)�

= 11(3x² + 5)¹⁰ . 6x

= 66x (3x² + 5)¹⁰

9. f (x) = fonksiyonunun türevi nedir? bilgiyelpazesi.net

ÇÖZÜM:

olur.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:

A)

1) f (x) = Sinx f�(x)=Cosx

2) f (x) = Cosx f�(x) = - Sinx

3) f (x) = tanx f�(x) = 1 + tan²x

4) f (x) = Cotx f�(x) = - (1 + Cot²x)

ÖRNEKLER:

1. f (x) = Secx f�(x) = ?

ÇÖZÜM:

Dir.

2. f (x) = Cosec f�(x) =?

ÇÖZÜM:

B.

1) f (x) = Sin[u[x]] f�(x) = u�(x) . Cos[u(x)]

2) f (x) = Cos [u(x)] f�(x) = - u�(x) . Sin [u(x)]

3) f (x) = tan [u(x)] f�(x) = u�(x) [1 + tan²u(x)]

4. f (x) = Cot[u(x)]   f�(x) = -u�(x) [1 + Cot²u(x)]

ÖRNEKLER:

1. f (x) = Sin3x f�(x) = 3Cos3x

2. f (x) = tan(x² � 1) f�(x) = ?

ÇÖZÜM:

f�(x) = (x² �1)� . [1 + tan²(x² � 1)]

f�(x) = 2x [1 + tan² (x² � 1)]

3. f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir? bilgiyelpazesi.net

ÇÖZÜM:

f�(x) = Cos (tanx) . (tanx)

4. f (x) = 2Sin³ x + 3Cos²x f�(x) = ?

ÇÖZÜM:

f�(x) = 2.3.Sin²x . (Sin x)� + 3.2 Cosx . (Cosx)�

f�(x) = 6Sin²x . Cosx + 6 Cosx . ( - Sin x)

EBOB VE EKOK, EBOB�UN ÖZELLİKLERİ, EKOK�UN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

Bölünebilme:

Bölme Özellikleri:

· Her sayının kendisine bölümü 1�dir.       36:36=1

· Her sayının 1 ile bölümü kendisidir.        19:1=19

· Sıfırın kendisinden farklı her sayıya bölümü sıfırdır.    0:7=0

· Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.      3:0= tanımsız

Bölünebilme Kuralları:

2 ile Bölünebilme:

Birler basamağında sıfır veya çift olan her doğal sayı 2 ile tam bölünebilir.

Örnek: 1400,  2456

5 ile Bölünebilme:

Birler basamağı sıfır veya 5 olan her doğal sayı 5 ile tam bölünür.

Örnek:  2545,  3950

Uyarı: Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için birler basamağına bakılır.Birler basamağı 5�den küçük ise kalan kendisidir.5�den büyük ise birler basamağından 5 çıkarılır.Fark kalandır.

543:5 � Kalan=3

10 ile Bölünebilme:

Birler basamağı sıfır olan her doğal sayı 10 ile tam bölünebilir.

Örnek:  3750,  5900

4 ile Bölünebilme:

Son iki basamağı 00, 4 veya 4�ün katı ise bu doğal sayı 4 ile tam bölünebilir.

Örnek: 1200, 1516

Uyarı: Bir sayının 4 ile bölümünden kalanı bulmak için son iki basamağına bakılır.Son iki basamağını oluşturan sayı 4�ten küçük ise kalan kendisidir. 4�ten büyük ise 4 ile bölümünde kalan eşittir.

1302:4 � Kalan= 2

25 ile Bölünebilme:

Son iki basamağı 00, 25 veya 25�in katı ise bu doğal sayı 25 ile tam bölünebilir.

Örnek: 1200, 1250

Uyarı:Bir sayının 25 ile bölümünden kalanı bulmak için son iki basamağına bakılır.Son iki basamağı oluşturan sayı  25� den küçük ise kalan kendisidir.25�den büyük ise 25 ile bölümünden kalan eşittir.

34812:25 � Kalan=12

3 ile Bölünebilme:

Bir sayının rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 3 veya 3�ün katı ise bu doğal sayı 3 ile tam bölünebilir.

Örnek: 1353, 360

Uyarı: Bir sayının 3�e bölümünden kalan rakamları toplamının 3�e bölümünden kalana eşittir.

478:3 � (4+7+8) :3 � Kalan=1

9 ile Bölünebilme:

Bir sayını rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 9 veya 9�un katı ise bu doğal sayı 9 ile tam bölünebilir.

Örnek:  9999, 4050

Uyarı: Bir sayını 9�a bölümünden kalan, rakamları toplamının 9�a bölümünden kalana eşittir.

786:9 � (7+8+6) :9 � Kalan=3

11 ile Bölünebilme:

Verilen sayıların rakamları sağdan sola doğru birer basamak atlayarak toplanır.Arada kalanlar da toplanır.Bulunan sayıların farkı sıfır 11 veya 11�in katı ise bu sayı 11 ile tam bölünebilir.

Örnek:  96943

9+9+3-(6+4)=21-10=11

O halde bu sayı 11 ile tam bölünür.

6, 12, 15, 18 Sayıları ile Bölünebilme:

Bu sayıları çarpanları yazılır.Çarpanların 1�in dışında ortak böleni olmamalıdır.

· 6= 2 . 3         (Hem 2 hem de 3 ile bölünebilen sayılar 6 ile tam bölünebilir.)

· 12=3 . 4        (Hem 3 hem de 4 ile bölünebilen sayılar 12 ile tam bölünebilir.)

· 15=3 . 5        (Hem 3 hem de 5 ile bölünebilen sayılar 15 ile tam bölünebilir.)

· 18=2 . 9       (Hem 2 hem de 9 ile bölünebilen sayılar 18 ile tam bölünebilir.)

EBOB ve EKOK

Asal Sayı:

1 ve kendisinden başka böleni olmayan, 1�den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

Asal Sayılar Kümesi: = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ….}

Uyarı: 2 hariç tüm asal sayılar tektir.

Aralarında Asal Sayılar:

Birden başka ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.

Örnek:

5 ile 19�un 1�den başka ortak böleni  olmadığından  aralarında asla sayılardır.

Asal Çarpanlara Ayırma:

Bir sayı asal çarpanlarına ayrılırken o sayı küçükten büyüğe doğru sıra ile kendisini tam olarak bölen asal sayılara bölünür.

Örnek: 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. bilgiyelpazesi.net

180 | 2

1 | 2

2 | 3

3 | 3

4 | 5

5 |

180 = 2² . 3² . 5

EBOB:

Verilen sayıların hepsini bölebilen en büyük sayı bu sayıların ebob �dur.

Örnek: 180 ve 210 sayılarının ebob�unu bulalım.

Çözüm:

180 210 | 2

90 105 | 2

45 105 | 3

15 35 | 3

5 35 | 5

6 7 | 7

7 |

(180, 210)_ebob = 2. 3 . 5 = 30

· 30 sayısı 180 ve 210�un her ikisini de bölen en büyük sayıdır.

EKOK:

Verilen sayıların hepsine bölünebilen en küçük sayıya bu sayıların ekok� u denir.

Örnek: 90 ve 60 sayılarını ekok�nu bulalım.

60  90 | 2

30  45 | 2

15  45 | 3

5   15 | 3

5    5 | 5

1    1 | 7

(60, 90)_ekok = 2² . 3² . 5 =180

Uyarı: İki doğal sayının Ebob�i ile Ekok�ının çarpımı, bu sayıların çarpımına eşittir.

A ve B doğal sayılar ise;

A x B = (A, B)_ebob x (A, B)_ekok