Matematikciler.COM

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

A. TANIM

a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu
kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

B. EŞİTLİĞİN ÖZELLİKLERİ

1) a = b ise, a ± c = b ± c dir.

2) a = b ise, a . c = b . c dir.

3) a = b ise,

4) a = b ise, aⁿ = bⁿ dir.

5) a = b ise,

6) (a = b ve b = c) ise, a = c dir.Ü

7) (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d

(a = b ve c = d) ise, a . c = b . d dir.

9) (a = b ve c = d) ise,

10) a . b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.

11) a . b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b
¹ 0) dır.

12)

= 0 ise, (a = 0 ve b ¹ 0) dır.

C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

1. a ¹ 0 olmak üzere,ax + b = 0 ise,
2. (a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar sağlar. Buna göre,
   reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi IR dir.
3. (a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan
   hiçbir sayı yoktur.

   Yani, Ç = Æ dir.

D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

a, b, c Î IR, a ¹ 0 ve
b ¹ 0 olmak üzere,

ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu
ikililer denkle-min çözüm kümesidir.

Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.

a, b, c Î IR olmak üzere,

ax + by + c = 0

denklemi her (x, y) Î IR² için sağlanıyorsa

a = b = c = 0 dır.

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden
iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

Çözüm Kümesinin Bulunması

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme
yöntemi, yerine koyma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden
biri ile yapılır.

Biz burada üçünü vereceğiz.

a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen
denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.

Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra)
değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar.

b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden
biri çekilip diğer denklem-de yerine yazılarak sonuca gidilir.

Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma
yöntemi” kolaylık sağlar.

c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin iki-sinden de aynı değişken
çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).

Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi”
kolaylık sağlar.

Ü ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

denklem sistemini göz önüne alalım:

Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa
üç durum olduğu görülür.

Birinci durum:

ise,
bu iki doğru tek bir noktada kesişir.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.

İkinci durum:

ise, bu iki doğru çakışıktır.

Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.

Üçüncü durum:

ise,
bu iki doğru paraleldir.

Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.