Matematikciler.COM

FIBONACCI DİZİSİ
Leonardo Fibonacci 12-13 üncü yüzyıllarda yaşamış bir İtalyan matematikçisidir. Pisa şehrinde doğan Leonardo çocukluğunu babasının çalışmakta olduğu Cezayir’de geçirmiştir. İlk matematik bilgilerini Müslüman eğiticilerden almış olup küçük yaşlarda onluk Arap sayı sistemini öğrenmiştir. Ülkesi İtalya’da kullanılmakta olan Roma sisteminin hantallığı yanında Arap sisteminin mükemmelliğini gören Fibonacci 1201 yılında “Liber Abaci” isimli kitabını yazmıştır. Aritmetik ve Cebir içeren ticaret ile ilgili bu kitapta Arap sayı sisteminin tanıtımını ve müdafaasını yapmıştır.

İlk anda kitabın İtalya’dan tüccarları üzerinde etkisi az olmasına rağmen zamanla bu kitap Arap sayı sisteminin Batı Avrupa’ya girmesinde büyük rol oynamıştır. Bu kitapta bulunan bir problem ortaçağ matematiğine katkıları olan Fibonacci’yi 600 yıl sonra, 19 uncu yüzyılın başlarından günümüze meşhur hale gelmesine sebep olmuştur. Bu problem “Tavşan Problemi”dir. Ergin bir tavşan çiftinin her ay yeni bir yavru çifti verdikleri ve yeni doğan bir çiftin 1 ay zarfında tam ergenliğe eriştikleri varsayımıyla yavru olan bir tavşan çiftinden başlayıp 1 yılda (12 ayda) çiftlerin sayısı ne olur?
Buna göre belli bir aydaki çift sayısı önceki iki ayın toplamına eşittir (aylara göre üremeyi gösteren çizelge yorumu kolaylaştıracaktır). O halde tavşan çifti sayıları aylara göre bir yıl içinde, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 olacaktır. Fibonacci’nin kendisi bu sayı dizisi üzerinde bir çalışma yapmamıştır. Hatta bu sayı dizisi üzerinde 19 uncu yüzyılın başlarına kadar ciddi bir araştırma yapılmadığı da belirtilmektedir. Ancak bundan sonra bu dizi üzerinde yapılan araştırmaların sayısı Fibonacci’nin tavşanlarının sayısı gibi artmıştır. Hatta Fibonacci Derneği bile kurulmuştur. Bu derneğin 1963 yılından itibaren yayınladığı “The Fibonacci Quartery” dergisi bu sayı dizisiyle ilgili ilginç araştırmalar yayınlamaktadır. Bazısı bilinen, bazısı öne sürülüp ispatlanamayan ve bilinmeyip keşfedilmesi beklenen birçok özelliğe sahip Fibonacci dizileri ile ilgili bilinen birkaç özellikten bahsedelim.

Fibonacci dizisinin bir terimi öncekine bölündüğünde bölümün n®¥ için “altın oran” denen ve irrasyonel bir sayı olan (1+)/2=1,61803398… sayısına yakınsadığı görülmektedir.

Aşağıdaki Pascal üçgenine baktığımızda aynı renkteki sayıların toplanmasıyla Fibonacci dizisi elde edilmektedir.

1
11
121
133 1
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…

Fibonacci sayılarıyla bitki aleminde karşılaşmanın en çarpıcı örneklerinden biri ayçiçeği tohumlarında mevcut, saat ibresinin hareket yönünde ve buna karşı yönde uzayan iki tür spirallerin sayısının ardışık iki Fibonacci sayısı olmasıdır. Orta büyüklükte ayçiçekleri için spirallerin sayısı 34′ karşılık 55 veya 55′e karşılık 89, daha büyükleri için 89′a karşılık 144, ve küçükler içinde 13′e karşılık 21 veya 21′e karşılık 34 olarak gözlenmiştir. Buna benzer bir durum papatya çiçeklerinde 21′e karşılık 34, ananaslarda 8′e karşılık 13, çam kozalaklarında 5′e karşılık 8 veya 8′e karşılık 13 olarak gözlenmiştir.

Bitki aleminde yaprakların saplar üzerindeki dizilişi (phyllotaxy) ile Fibonacci sayıları arasındaki ilişkiye dair çok sayıda örnek vardır. Örneğin 2/5 kesri ile ifade edilen bir phyllotaxy, iki yaprağın sap boyunca aynı sıraya gelinceye kadar sap etrafında iki tur yaptığını ve sap boyunca 5 tane sıra oluşturduğunu anlatmaktadır. Sap boyunca belli bir yapraktan sonra 6. yaprak aynı sırada (hizada) olup, ardışık iki yaprak sap etrafında 720/5=144 derecelik açı yapmaktadır. Bazı bitkiler için bu oranlar: Karaağaç, çim için 1/2, Kayın için 1/3, Meşe, elma, armut için 2/5, Kavak, muz için 3/8, Badem, pırasa için 5/13 olarak gözlenmiştir.

Fibonacci dizisine büyüyen bir bitkinin üzerinde oluşan koltuk ve sap sayısında da rastlanır.

Yukarıdaki şekilde olduğu gibi sağa doğru uzayan bir petek ve n numaralı gözeye ulaşmak isteyen ancak büyük numaralı gözeden küçük numaralı gözeye dönmeyen bir arı göz önüne alalım. Arı n numaralı gözeye ulaşmak için kaç farklı yol izleyebilir? n = 1, 2, … için b(n), n numaralı gözeye ulaşmak için izlenebilecek yol sayısı olsun. b(1) = 1, b(2) = 2 olmak üzere arının n numaralı gözeye gelebilmesi için ya n-1 numaralı ya da n-2 numaralı gözeye gelmiş olması gerekir ki, buralara b(n-1) ve b(n-2) yoldan gelebileceğinden, b(n) = b(n-1) + b(n-2) indirgeme bağıntısı elde edilir ki buda Fibonacci dizisinin indirgeme bağıntısının kendisidir. (b(n)) dizisinin elemanları, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … olmak üzere bunlar bir eleman gecikmeli Fibonacci dizisinin elemanlarıdır.

Fibonacci dizisinde asal sayı olan terimlerin sayısının ne olduğu sorusu çözülememiş problemlerden birisidir.