Matematikciler.COM

A. TANIM

A ¹ Æ ve B
¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı
verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez
ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar
f ile gösterilir.

“ x Î A ve
y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ®
f(x) = y biçiminde gösterilir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}

biçiminde de gösterilir.

Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat
her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt
kümesidir.

Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

1. A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.

2. B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.

3. A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı
   2m . n – nm dir.

Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon
olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu
doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı
kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

f ve g birer fonksiyon olsun.

f : A ® IR

g : B ® IR

olmak üzere,

i) f ± g: A Ç B
® IR

(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

ii) f . g: A Ç B ® IR

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon
bire birdir.

“ x₁, x₂
Î A için, f(x₁) = f(x₂)iken

x₁ = x₂ ise f fonksiyonu bire birdir.

Ü s(A) = m ve s(B) = n (n
³ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon
denir.

f : A ® B

f(A) = B ise, f örtendir.

Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya
tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı

Ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) … 3
. 2 . 1 dir.

3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde
eşlenmemiş eleman vardır.

Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya
tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı

m^m – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

f : IR ® IR

f(x) = x

birim (etkisiz) fonksiyondur.

Ü Birim fonksiyon genellikle I ile
gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana
eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

Ü “x
Î A ve c Î B için

f : A ® B

f(x) = c

fonksiyonu sabit fonksiyondur.

Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f : IR ® IR

f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy
eksenine göre simetriktir.

Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine
göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON

f : A ® B

g : A ® B

“x Î A için
f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna
permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

F. TERS FONKSİYON

f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f ^{– 1}
de fonksiyondur.

Ü Uygun koşullarda,
f(a) = b Û f
^{– 1}(b) = a dır.

Ü f : IR
® IR, f(x) = ax + b ise, f ^–
1(x) =

dır.

Ü (f ^{– 1}) ^{– 1}
= f dir.

Ü (f ^{– 1}(x)) ^{– 1}
¹ f(x) tir.

Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y
= f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.

Ü B Ì IR
olmak üzere,

Ü B Ì IR
olmak üzere,

G. BİLEŞKE FONKSİYON

1. Tanım

f : A ® B

g : B ® C

olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna
f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

(gof)(x) = g[f(x)] tir.

2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri

i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

fog ¹ gof

Bazı fonksiyonlar için
fog= gof  olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme
özelliği olmadığını değiştirmez.

ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.

fo(goh) = (fog)oh = fogoh

iii)
foI = Iof = f

olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz)
elemanıdır.

iv)
fof ^{– 1} = f ^{– 1}of = I

olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.

v)
(fog) ^{– 1} = g ^{– 1}of ^{– 1} dir.