Matematikciler.COM

Matematiğin güzelliğini çok açıkça ortaya koyan iki örnek verelim. Basit olmalarına rağmen bunlar birinci sınıf teorilerdendir. Buna rağmen bu örnekler; özel matematik bilgisi olmayan okurlar için basit ve anlaşılırdır, ön açıklama gerektirmezler, yalnız ifade değil ispat da takip edilebilir. Bu koşullar bizi

sayılar teorisinin en güzel teoremlerinin çoğundan -özellikle Fermat’nın iki kare (two square) teoremi veya ‘iki dereceli ifadelerde evrik terslik kuramı’ (law of quadratic reciprocity)- mahrum bırakmaktadır. Öte yandan, örnekler ‘üst düzey’ matematikten yani profesyonel matematikçilerin matematiğinden alınmalıdır.

Yunan matematiğinin iki ünlü teoremini verip ispatlayalım. İkisi de hem fikir hem de işlem yönünden basit olmalarına rağmen aradan geçen ikibin yıl her ikisine de en ufak bir kırışıklı getirmemiştir. Birinci sınıf teoremler olup matematiksel güzelliği anlamanın başlangıcı için idealdirler. Matematik dağarcıkları ne kadar hafif olursa olsun normal zekalı her okuyucu en fazla bir saat içinde kavrayabilecektir.
1.Birinci örnek; Euclid’in sonsuz sayıda asal sayının var olduğu hakkındaki teoreminin ispatıdır.
Asal sayılar veya Asallar, daha küçük çarpanlara ayrılamayan
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…
gibi sayılardır. Bu serinin hiç bitmeyeceğini ispatlayacağız.
Serinin bittiğini ve 2,3,5,…,P yazılımının serinin tümü olduğunu varsayalım. (O zaman P en büyük asal sayı olacaktır.)
Q = (2 x 3 x 5 x … x P ) + 1
ile tanımlanan Q sayısını ele alalım. Q sayısının 2,3,5,…,P sayılarının hiçbiri ile bölünemediği açıktır; çünkü bu sayıların herhangi biri ile bölündüğünde 1 kalanını bırakır. Ama kendisi asal değilse, bir asal ile bölünebilmelidir; bu nedenle de bütün asallardan daha büyük bir asal sayı vardır. Bu Q’nun kendisi de olabilir. Bu sonuç da, P’den daha büyük bir asal sayı olmadığı yolundaki hipotezimizle çelişir. O halde bu hipotez doğru değildir.
Bu ispat olmayana ergi (reducto de absurdum) yöntemi ile yapılmıştır. Euclid’in çok sevdiği bu yöntem matematikçilerin en iyi araçlarından biridir. Bu herhangi bir satranç gambitinden çok daha ince gambittir; bir satranç oyuncusu bir piyonu hatta bir figürü feda etmeyi göze alabilir; bir matematikçinin ortaya koyduğu şey ise oyunun kendisidir.

2. İkinci örnek; Pythagoras’ın kök 2 ‘nin irrasyonel bir sayı olduğunun ispatıdır. Bir rasyonel sayı, a ve b tam sayılarının a/b şeklindeki kesir ifadesidir. a ve b’nin ortak çarpanları ve b sıfır olmadığından; kök 2 irrasyoneldir demek; 2 sayısının (a/b) 2 şeklinde yazılamayacağını başka türlü ifade etmektir. Bu da;
a 2 = 2b 2 ifadesinin ortak çarpanları olmayan a ve b sayılarınca sağlanamayacağını söylemekle aynı şeydir. Bu tamamen bir pür aritmetik teoremidir; irrasyonel sayılar hakkında bilgi gerektirmediği gibi, onların özellikleri hakkında herhangi birt teoriye de dayanmaz.
Yine reducto ad absurdum yöntemini uyguluyoruz. a ve b’nin ortak çarpanları bulunmayan tam sayılar olduklarını varsayalım. yukarıdaki ifadeye göre a 2 bir çift sayıdır. (2b 2 2 ile bölünebildiği için). Eğer a çift ise bir c tamsayısı için;
a = 2c
yazılabilir. Bu nedenle de
2b 2 = a 2 = (2c) 2 = 4c 2
veya
b 2 = 2c 2
Öyleyse b 2 çift sayıdır ve b de (daha önce belirtilen nedenle) çift sayıdır. Bu ise varsayımımız ile çelişir; öyleyse varsayım doğru değildir.
Sayılar teorisinden, anlamını herkesin anlayabileceği, güzel birçok örnek verilebilir. Örneğin her tam sayının yalnız bir şekilde asal çarpanlara ayrılabileceğini belirleyen “aritmetiğin temel teoremi” diye bilinen teoremi ele alabiliriz. Buna göre; 777 = 3 x 7 x 37 ‘dir ve başka bir ayrışımı da yoktur. Bu teorem adından da anlaşılacağı gibi ileri aritmetiğin temelidir.
Euclid’in ve Pythagoras’ın teoremleri bize, tutarlı bir tam sayılar aritmetiği oluşturmak için yeterli malzememiz olduğunu söylüyor.

“Düşünüyorum, o halde varım.” René Descartes

Bertand Russell, bir keresinde, insanın neden matematik öğrenmesi gerektiği sorusunu ciddi olarak ele almıştı. Verdiği yanıt sorunun dar kapsamının çok ötesinde oldu; bugün de; insanın herhangi birşeyi neden öğrenmesi gerektiği sorusuna kabul edilebilir bir yanıt oluşturmaktadır. Russell şöyle yazıyor: “…arzu edilen şeyin sadece yaşamak olgusu olmayıp, yüce şeyler üzerinde düşünerek yaşamak sanatı olduğunun hatırlanmasında yarar vardır.” Evet; yüce şeyler üzerinde düşünerek yaşamak sanatı.
Russell’ın yüce şeylerden kastettiği, resim, heykel, edebiyat, müzik, mimari ve genel olarak ’sanat’ genel başlığı altında toplanan şeylerdi. Ancak o bunlardan fazlasını da kastetmekteydi. “Yüce şeyler” içinde yüce ideler de vardır. Russell’ın yaşama sanatı, insanın “düşünmenin güzelliğine bütünüyle duyarlı” olmasını gerektirmektedir.
Düşünsel güzellik dünyasının en güzel alanlarından biri de matematiktir. Yalnız bu bile onu öğrenmek için yeterli nedendir.

Matematik bilimi ile ilgilenen birine felsefi düşünme gücü, geniş bir bakış açısı kazandırır ve keşif yeteneğini arttırır. Bir ‘Matematikçi’ felsefi konulara da gerekli önemi vermelidir. Özellikle matematik felsefesi ve bilim tarihi konularında bilgi sahibi olunmalıdır. Abel, Arf, Boole, Descartes, Euler, Gauss, Miller, Newton, Penrose, Russell, Whitehead,… gibi matematikçi ve matematik felsefecilerinin eserleri mutlaka okunmalı ve ilgili bilgiler sentezlenmelidir. Başarılı bir bilimadamı olmanın ön şartı tüm bilimi en azından genel olarak kavrayacak bir zihin gücüne sahip olmaktan geçmektedir. Matematik ise başlıbaşına bir bilim dalı olmasının ötesinde evrensel nitelikleri içeren genel bir düşünsel sistem olduğundan matematikçinin, her bilim dalı hakkında genel de olsa bilgiye sahip olması gereklilik halini almaktadır. Özellikle de matematik biliminde ezberin, öğrenmede, üretmede, keşifte yeri yoktur.