|
Euclid
(M.Ö. 325 - M.Ö. 265)
|
Rönesans sonrası Avrupa'da, Kopernik'le
başlayan, Kepler, Galileo ve Newton'la 17. yüzyılda doruğuna ulaşan
bilimsel devrim, kökleri Helenistik döneme uzanan bir olaydır. O dönemin
seçkin bilginlerinden Aristarkus, güneş-merkezli astronomi düşüncesinde
Kopernik'i öncelemişti; Arşimet yaklaşık iki bin yıl sonra gelen
Galileo'ya esin kaynağı olmuştu; Öklid çağlar boyu yalnız matematik
dünyasının değil, matematikle yakından ilgilenen hemen herkesin gözünde
özenilen, yetkin bir örnekti. Öklid, M.Ö. 300 sıralarında yazdığı 13
ciltlik yapıtıyla ünlüdür. Bu yapıt, geometriyi (dolayısıyla matematiği)
ispat bağlamında aksiyomatik bir dizge olarak işleyen, ilk kapsamlı
çalışmadır. 19. yüzyıl sonlarına gelinceye kadar alanında tek ders kitabı
olarak akademik çevrelerde okunan, okutulan Elementler'in, kimi
yetersizliklerine karşın, değerini bugün de sürdürdüğü söylenebilir .
Egeli matematikçi Öklid'in kişisel yaşamı, aile çevresi, matematik dışı
uğraş veya meraklarına ilişkin hemen hiçbir şey bilinmemektedir. Bilinen
tek şey; Iskenderiye Kraliyet Enstitüsü'nde dönemin en saygın öğretmeni;
alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan bir ders kitabının yazarı olmasıdır.
Eğitimini Atina'da Platon'un ünlü akademisinde tamamladığı sanılmaktadır.
O akademi ki giriş kapısında, ''Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan
içeri alınmaz!'' levhası asılıydı.
Öklid'in bilimsel kişiliği, unutulmayan iki sözünde yansımaktadır: Dönemin
kralı I. Ptolemy , okumada güçlük çektiği Elementler'in yazarına,
"Geometriyi kestirmeden öğrenmenin yolu yok mu?'' diye sorduğunda, Öklid
"Özür dilerim, ama geometriye giden bir kral yolu yoktur'' der. Bir gün
dersini bitirdiğinde öğrencilerinden biri yaklaşır, ''Hocam, verdiğiniz
ispatlar çok güzel; ama pratikte bunlar neye yarar?'' diye sorduğunda,
Öklid kapıda bekleyen kölesini çağırır, "Bu delikanlıya 5-10 kuruş ver,
vaktinin boşa gitmediğini görsün!'' demekle yetinir .
Öklid haklı olarak "geometrinin babası" diye bilinir; ama geometri onunla
başlamış değildir. Tarihçi Herodotus (M.Ö. 500) geometrinin başlangıcını,
Nil vadisinde yıllık su taşmalarından sonra arazi sınırlarını belirlemekle
görevli kadastrocuların çalışmalarında bulmuştu. Geometri "yer" ve "ölçme"
anlamına gelen "geo" ve "metrein" sözcüklerinden oluşan bir terimdir.
Mısır'ın yanı sıra Babil, Hint ve Çin gibi eski uygarlıklarda da gelişen
geometri o dönemlerde büyük ölçüde, el yordamı, ölçme, analoji ve sezgiye
dayanan bir yığın işlem ve bulgudan ibaret çalışmalardı. Üstelik ortaya
konan bilgiler çoğunlukla kesin olmaktan uzak, tahmin çerçevesinde kalan
sonuçlardı. Örneğin, Babilliler dairenin çemberini çapının üç katı olarak
biliyorlardı. Bu öylesine yerleşik bir bilgiydi ki; pi' nin değerinin 3
değil, 22/7 olarak ileri sürenlere, bir tür şarlatan gözüyle bakılıyordu.
Mısırlılar bu konuda daha duyarlıydılar: M.Ö. I800 yıllarına ait Rhind
papürüslerinde onların pi'yi yaklaşık 3.1604 olarak belirledikleri
görülmektedir; ama Mısırlıların bile her zaman doğru sonuçlar ortaya
koyduğu söylenemez. Nitekim, kesik kare piramidin oylumunu (hacmini)
hesaplamada doğru formülü bulan Mısırlılar, dikdörtgen için doğru olan bir
alan formülünün, tüm dörtgenler için geçerli olduğunu sanıyorlardı.
Aritmetik ve cebir alanında Babilliler , Mısırlılardan daha ilerde idiler.
Geometride de önemli buluşları vardı. Örneğin, "Pythagoras Teoremi"
dediğimiz, bir dik açılı üçgende dik kenarlarla hipotenüs arasındaki
bağıntıya ilişkin önerme "bir dik üçgenin dik kenar karelerinin toplamı,
hipotenüsün karesine eşittir" buluşlarından biriydi. Ne var ki, doğru da
olsa bu bilgiler ampirik nitelikteydi; mantıksal ispat aşamasına
geçilmemişti henüz. Ege' li Filazof Thales'in (M.Ö. 624-546), geometrik
önermelerin dedüktif yöntemle ispatı gereğini ısrarla vurguladığı, bu
yolda ilk adımları attığı bilinmektedir . Mısır gezisinde tanıştığı
geometriyi, dağınıklıktan kurtarıp, tutarlı, sağlam bir temele oturtmak
istiyordu. İspatladığı önermeler arasında . ikizkenar üçgenlerde taban
açılarının eşitliği; kesişen iki doğrunun oluşturduğu karşıt açıların
birbirine eşitliği vb. ilişkiler vardı.
Klasik çağın "yedi Bilgesi" nden biri olan Thales'in açtığı bu yolda,
Pythagoras ve onu izleyenlerin elinde, matematik büyük ilerlemeler
kaydetti, sonuçta Elementler'de işlenildiği gibi, oldukça soyut mantıksal
bir dizgeye ulaştı. Pythagoras, matematikçiliğinin yanı sıra, sayı
mistisizmini içeren gizliliğe bağlı bir tarikatın önderiydi. Buna göre;
sayısallık evrensel uyum ve düzenin asal niteliğiydi; ruhun yücelip
tanrısal kata erişmesi ancak müzik ve matematikle olasıydı.
Buluş ve ispatlarıyla matematiğe önemli katkılar yapan Pythagorasçılar ,
sonunda inançlarıyla ters düşen bir buluşla açmaza düştüler. Bu buluş,
karenin kenarı ile köşegenin ölçüştürülemeyeceğine ilişkindi. kök 2 gibi,
bayağı kesir şeklinde yazılamayan sayılar , onların gözünde gizli
tutulması gereken bir skandaldı. Rasyonel olmayan sayılarla temsile
elveren büyüklükler nasıl olabilirdi? (Pythagorasçıların tüm çabalarına
karşın üstesinden gelemedikleri bu sıkıntıyı, daha sonra tanınmış bilgin
Eudoxus oluşturduğu, irrasyonel büyüklükler için de geçerli olan,
Orantılar Kuramı'yla giderir).
Öklid, Pythagoras geleneğine bağlı bir ortamda yetişmişti. Platon gibi,
onun için de önemli olan soyut düşünceler , düşünceler arasındaki
mantıksal bağıntılardı. Duyumlarımızla içine düştüğümüz yanlışlıklardan,
ancak matematiğin sağladığı evrensel ilkeler ve salt ussal yöntemlerle
kurtulabilirdik. Kaleme aldığı Elementler, kendisini önceleyen Thales,
Pythagoras, Eudoxus gibi, bilgin-matematikçilerin çalışmaları üstüne
kurulmuştu. Geometri bir önermeler koleksiyonu olmaktan çıkmış, sıkı
mantıksal çıkarım ve bağıntılara dayanan bir dizgeye dönüşmüştü. Artık
önermelerin doğruluk değeri, gözlem veya ölçme verileriyle değil, ussal
ölçütlerle denetlenmekteydi. Bu yaklaşımda pratik kaygılar ve uygulamalar
arka plana itilmişti.
Kuşkusuz bu, Öklid geometrisinin pratik problem çözümüne elvermediği demek
değildi. Tam tersine, değişik mühendislik alanlarında pek çok problemin,
bu geometrinin yöntemiyle çözümlendiği; ama Elementler'in, eğreti olarak
değindiği bazı örnekler dışında, uygulamalara yer vermediği de
bilinmektedir. Öklid'in pratik kaygılardan uzak olan bu tutumunun
matematik dünyasındaki izleri, bugün de rastladığımız bir geleneğe
dönüşmüştür.
Gerçekten, özellikle seçkin matematikçilerin gözünde, matematik şu ya da
bu işe yaradığı için değil, yalın gerçeğe yönelik, sanat gibi güzelliği ve
değeri kendi içinde Soyut bir düşün uğraşı olduğu için önemlidir.
Matematiğin tümüyle ussal bir etkinlik olduğu doğru değildir. Buluş
bağlamında tüm diğer bilimler gibi matematik de, sınama-yanılma, tahmin,
sezgi, içedoğuş türünden öğeler içermektedir. Yeni bir bağıntıyı
sezinleme, değişik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma, temelde mantıksal
olmaktan çok psikolojik bir olaydır. Matematiğin ussallığı, doğrulama
bağlamında belirgindir. Teoremlerin ispatı, büyük ölçüde kuralları belli,
ussal bir işlemdir; ama şu sorulabilir: Öklid neden, geometrinin ölçme
sonuçlarıyla doğrulanmış önermeleriyle yetinmemiş, bunları ispatlayarak,
mantıksal bir dizgede toplama yoluna gitmiştir?
Öklid'i bu girişiminde güdümleyen motiflerin ne olduğunu söylemeye olanak
yoktur; ancak, Helenistik çağın düşün ortamı göz önüne alındığında,
başlıca dört noktanın öngörüldüğü söylenebilir:
1) İşlenen konuda çoğu kez belirsiz kalan anlam ve ilişkilere açıklık
getirmek;
2) İspatta başvurulan öncülleri (varsayım, aksiyom veya postulatları) ve
çıkarım kurallarını belirtik kılmak;
3) Ulaşılan sonuçların doğruluğuna mantıksal geçerlik kazandırmak (Başka
bir deyişle, teoremlerin öncüllere görecel zorunluluğunu, yani öncülleri
doğru kabul ettiğimizde teoremi yanlış sayamayacağımızı göstermek);
4) Geometriyi, ampirik genellemeler düzeyini aşan soyut-simgesel bir dizge
düzeyine çıkarmak (Bir örnekle açıklayalım: Mısırlılar ile Babilliler
kenarları 3, 4, 5 birim uzunluğunda olan bir üçgenin, dik üçgen olduğunu
deneysel olarak biliyorlardı; ama bu ilişkinin 3, 4, 5 uzunluklarına özgü
olmadığını, başka uzunluklar için de geçerli olabileceğini gösteren
veriler ortaya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü; buna ihtiyaçları da
yoktu. Öyle kuramsal bir açılma için pratik kaygılar ötesinde, salt
entellektüel motifli bir arayış içinde olmak gerekir. Nitekim, Egeli
bilginler somut örnekler üzerinde ölçmeye dayanan belirlemeler yerine,
bilinen ve bilinmeyen tüm örnekler için geçerli soyut genellemeler
arayışındaydılar. Onlar, kenar uzunluklan a, b, c diye belirlenen üçgeni
ele almakta, üçgenin ancak a2+b2=c2 eşitliği gerçekleştiğinde dik üçgen
olabileceği genellemesine gitmektedirler).
Öklid oluşturduğu dizgede birtakım tanımların yanı sıra, beşi "aksiyom"
dediği genel ilkeden, beşi de "postulat" dediği geometriye özgü ilkeden
oluşan, on öncüle yer vermiştir (Öncüller, teoremlerin tersine
ispatlanmaksızın doğru sayılan önermelerdir). Dizge tüm yetkin görünümüne
karşın, aslında çeşitli yönlerden birtakım yetersizlikler içermekteydi.
Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle, "nokta'', "doğru", vb.
ilkel terimlere ilişkin tanımlar) gereksizdi. Sonra daha önemlisi,
belirlenen öncüller dışında bazı varsayımların, belki de farkında
olmaksızın kullanılmış olması, dizgenin tutarlılığı açısından önemli bir
kusurdu. Ne var ki, matematiksel yöntemin oluşma içinde olduğu başlangıç
döneminde, bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler,
giderilemeyecek şeyler değildi. Nitekim, l8. yüzyılda başlayan eleştirel
çalışmaların dizgeye daha açık ve tutarlı bir bütünlük sağladığı
söylenebilir. Üstelik dizgenin irdelenmesi, beklenmedik bir gelişmeye de
yol açmıştır: Öncüllerde bazı değişikliklerle yeni geometrilerin ortaya
konması. "Öklid-dışı" diye bilinen bu geometriler, sağduyumuza aykırı da
düşseler, kendi içinde tutarlı birer dizgedir. Öklid geometrisi, artık var
olan tek geometri değildir. Öyle de olsa, Öklid'in düşünce tarihinde
tuttuğu yerin değiştiği söylenemez.
Çağımızın seçkin filozofu Bertrand Russell'ın şu sözlerinde Öklid'in özlü
bir değerlendirmesini bulmaktayız: '"Elementler'e bugüne değin yazılmış en
büyük kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Grek zekasının en
yetkin anıtlarından biridir. Kitabın Greklere özgü kimi yetersizlikleri
yok değildir, kuşkusuz: dayandığı yöntem salt dedüktif niteliktedir;
üstelik, öncüllerini oluşturan varsayımları yoklama olanağı yoktur. Bunlar
kuşku götürmez apaçık doğrular olarak konmuştur. Oysa, 19.yüzyılda ortaya
çıkan Öklid-dışı geometriler, bunların hiç değilse bir bölümünün yanlış
olabileceğini, bunun da ancak gözleme başvurularak belirlenebileceğini
göstermiştir."
Gene Genel Rölativite Kuramı'nda Öklid geometrisini değil, Riemann
geometrisini kullanan Einstein'ın, Elementler'e ilişkin yargısı son derece
çarpıcıdır: "Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse,
kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline boşuna
kapılınasın!"
|
