Matematikciler.COM

A. TANIMa ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak
üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki
fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.

Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki
gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

1) f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun tepe noktası

T(r, k) olmak üzere,

Ü Parabol

doğrusuna göre simetriktir.

doğrusu
parabolün simetri eksenidir.

y = a(x – r)² + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k)
dır.

C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini
kestiği nokta C olsun.

ax² + bx + c = 0
ın kökleri x1 ve x2 ise A(x₁, 0), B(x₂,
0), C(0, c) dir.

ax² + bx + c = 0 denkleminde

• D = b² – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini
  farklı iki noktada keser.
• D = b² – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini
  kesmez.
• D = b² – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine
  teğettir.

D. x² NİN KATSAYISI
OLAN a NIN İŞARETİ

1)

a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in
en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

2) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri
tepe noktası-nın ordinatı olan k dır.

a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük
değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

3) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre,
f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.

|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere
göre ,f deki x² nin katsayısı g deki x²
nin katsayısından büyüktür

f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.

2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.

E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – x₁) (x – x₂) … (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri
(1) de yazılır.

2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – r)² + k … (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri
(1) de yazılır.

3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

y₁ = ax₁² + bx₁ + c … (1)

y₂ = ax₂² + bx₂ + c … (2)

y₃ = ax₃² + bx₃ + c … (3)

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.

F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU

y = f(x) = ax² + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak
çözelim.

f(x) = g(x)

ax² + bx + c = mx + n

ax² + (b – m)x + c – n = 0 … (_*)

(_*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün
kesiştiği noktaların apsisleridir.

Buna göre, (_*) denkleminde;

• D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada
  keser.
• D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.
• D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.

Ü y = ax² + bx + c parabolü ile y =
dx² + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine
benzer biçimde işlemler yapılır.