Matematikciler.COM

Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir.

Bunun ispatı şuna dayanmaktadır:

c2 = a2 + b2 c uzunluğu hipotenüstür. a ve b uzunlukları ise dik kenarlardır. Her kenardan birer kare oluşturulur. Bu karelerin alanları, kare alan formülüne dayalı olarak a2,b2,c2 şeklinde sıralanır. Böylece üç karenin köşelerinin birleşiminden oluşan bir dik üçgen oluşturulur. Oluşan üçgenin dik köşesinden hipotenüsün oluşturduğu karenin, hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde öklid bağıntısı kurulur. (öklid bağıntısı benzerlikten ispatlanabilmektedir.) Öklide göre
a2 = p(p + q)
yani, dik kenarlardan birinin karesi, dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin ayırdığı parçalardan kendisine komşu olan tarafın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir. Bu durumda

a2 = p.c
olacaktır. Yani a kenarına ait karenin alanı, hipotenüse ait alanın dik açıdan indirilen dikmeyle ikiye ayırdığı alanlardan kendisine komşu olan alana eşit olacaktır. Bu durumu diğer kenar için de düşünürüz.

a2 = p.(p + q)b2 = q.(p + q)
p + q = c
a2 = p.c,b2 = q.c olacaktır. Bunu takiben,

a2 + b2 = p.c + q.c
a2 + b2 = c.(p + q)
p + q = c
a2 + b2 = c.c
a2 + b2 = c2

olacaktır.

Matematikte, Pisagor Teoremi, Öklid Geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan İÖ 6. YY’da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor’a atfen isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler.

Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı Öklid’in Elementler eserinde bulunabilir.

Üçgen ne demektir birkaç kişi haricinde herkes bunu biliyordur.

Üçgen, dörtgen, beşgen …
Bunların herbiri bir çokgendir ve sonlarındaki “gen” eki “kenar” anlamına gelir.
yani;
üçgen: üçkenar
dörtgen: dörtkenar
beşgen:beşkenar gibi devam eder gider.

* Pisagor bağıntısına sonra değineceğiz fakat isterseniz üçgenden iyice bahsedelim.

Üçgen; üç kenarı ve üç açısı olan kapalı bir şekildir.

Etrafımızda birçok üçgen çeşidi görebiliriz fakat kimse bu üçgenin belli bir kuralla çizildiğini düşünmez.

Peki üçgen çizmek için nelere ihtiyacımız var ?

* Öncelikle; cetvel, pergel,açıölçer kullanacağız.

Herhangi bir üçgeni çizmek için neleri bilmeliyiz ?

* Ya üç kenarını da bilmeyizi

* Ya da iki kenar ve bu iki kenar arasındaki bir açıyı bilmeliyiz

* Ya daiki açı ve bu iki açının arasındaki kenarı bilmeliyiz.

Bunları bilirsek ideal bir üçgen çizebiliriz.

Peki; ya üç açıyı da bilirsek çizemezmiyiz ?

diye bir soru geldiğini düşünelim.

En basit olarak 60,60,60 derecelik bir üçgen düşünelim. Bu eşkenar üçgendir ve milyonlarca eşkenar üçgen çizebiliriz. Bizim istediğimiz herkes tarafından aynı çizilebilecek bir üçgendir.

Şimdi üçgenin elemanlarını bir inceleyelim.

Üçgenin elemanları derken; üçgene özel bazı özellikler vardır. Bunları size anlatacağız.

1. Yükseklik: Bunu daha önceki senelerde görmüştük fakat tekrar edelim: Bir üçgenin ehrhangi bir kenarını düşünün. Bu kenara tam karşısındaki köşeden dikme indiğinizde oluşan doğru parçasına o kenarın yüksekliği denir. Üçgende üç kenar olduğu için 3 tane de dikme vardır. Hemen elinize kağıt kalem alıp bunu çizebilirsiniz. ( Genş açılı üçgenlerde yükseklik kenarın dışına düşebilir. Dik açılı üçgende ise zaten dik kenarlar yüksekliği bize gösterir)
2. Kenarortay:(Kenarı ortalayan demektir ) Yine, üçgenin bir kenarını düşünelim. Karşıdaki köşeden öyle bir çizgi çekin ki bu kenarı tam ortadan ikiye bölsün.Yani kenarı ortalasın. Bu çizgiye kenarortay denir. Kenarortay dik olmak zorunda değildir.

3. Açıortay; isminden de anlaşılacağı gibi açıyı ortalayan demektir. Bu sefer bir açının bulunduğu köşeden karşı kenara çizgi çekeceğiz fakat amacımız kenarı ortalamak değil, açıyı ortalamak. Kısacası; açıortay açıyı ortalayan bir doğru parçasıdır. Açı 70 derece ise bu çizdiğimiz doğru parçası iki tane 35 derece oluşturur.

4. Kenar orta dikme: Sanki ismi kenarortaya benziyor gibi… Fakat amaçsadece kenarın ortasına dikme çizmektir. Yani kenarı bulursunuz, tam ortasına bir dikme çizersiniz. Bu dikmenin ucu karşı köşeden geçmek zorunda değildir.