Matematikciler.COM

A. TANIMn bir doğal sayı ve a₀, a₁, a₂, … , a_{n
– 1}, a_n birer gerçel sayı olmak üzere,

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_{n
– 1}x^{n – 1}+a_nxⁿ

biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden
polinom (çok terimli) denir.

B. TEMEL KAVRAMLAR

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_{n
– 1}x^{n – 1}+a_nxⁿ

olmak üzere,

Ü a₀, a₁, a₂,
… , a_n–1, a_n in her birine polinomun terimlerinin katsayıları
denir.

Ü a₀, a₁x, a₂x²,
… , a_n–1x^{n – 1}, a_nxⁿ in her birine
polinomun terimleri denir.

Ü Polinomun terimlerinden biri olan a₂x²
teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.

Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde
derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin
derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir.

Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun
sabit terimi denir.

Ü a₀ = a₁ = a₂
= … = a_n = a_n–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu
denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

Ü a₀ ¹
0 ve a₁ = a₂ = a₃ = … a_{n – 1} = a_n
= 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.

Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.

Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.

C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

P(x, y) = 3xy² – 2x²y – x + 1

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki
değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.

D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK

Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine
eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.

Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1)
dir.

Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.

Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine
1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.

P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı

P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.

Ü P(x) polinomunun;

Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER

1. Toplama ve Çıkarma

P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + …

Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + …

olmak üzere,

P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + …

P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + …

olur.

2. Çarpma

İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile
ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.

3. Bölme

der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x)
¹ 0 olmak üzere,

P(x) : Bölünen polinom

Q(x) : Bölen polinom

B(x) : Bölüm polinom

K(x) : Kalan polinomdur.

Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)

Ü der [K(x)] < der [Q(x)]

Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna
tam bölünür.

Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.

Bunun için;

1. Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2. Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
3. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı
   dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
4. Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem
   uygulanır.
5. Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden
   küçük oluncaya kadar devam edilir.

F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI

Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.

1. Bölen Birinci Dereceden İse

Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine

yazılır.

• P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.
• P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan

2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa

Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda
yazılarak kalan bulunur.

P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom
Q(x) ise,

P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.

P(b) = mb + n … (1)

P(c) = mc + n … (2)

(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.

Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.

3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa

Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan
polinom bulunur.

1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti
bulunur.

2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.

• P(x) polinomunun ax² + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak
  için P(x) polinomunda x² yerine yazılır.

4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n
Î N+)

P(x) = axⁿ + bx^m + d ise,

P^ı(x) = a . nx^n–1 + b . mxm–1 + 0

P^ıı(x) = a . n . (n – 1)x^{n – 2} + b . m(m –1) . x^{m
– 2} dir.

P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x)
polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k₂ ise,

P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan

K(x) = (x – a) k₂ + k₁ olur.

G. BASİT KESİRLERE AYIRMA

a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.

Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen

de yazılır. Aynı işlemler B için de yapılır.

H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER

m > n olmak üzere,

der[P(x)] = m

der[Q(x)] = n olsun.

Buna göre,

1. der[P(x) ± Q(x)] = m tir.
2. der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
3. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m –
   n dir.
4. k Î N⁺ için der[P^k(x)]
   = k . m dir.
5. der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.