Asal Sayılar ve Doğal Sayıları Asal Çarpanlarına Ayırma

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Asal Sayılar
✓ Asal Çarpanlarına Ayırma
✓ Çarpan Ağacı,Asal Çarpanlar Algoritması

Bir doğal sayının çarpanları, bölenleri ve katları nasıl bulunur önceki konumuzda öğrendik. Şimdi ise asal sayılar nedir, bir sayı asal çarpanlarına nasıl ayrılır, çarpan ağacı ve bölen listesi nasıl yapılır öğreneceğiz.

ASAL SAYILAR

1 ve kendisinden başka hiç bir sayma sayısına tam bölünemeyen 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Diğer bir ifade ile çarpanları sadece 1 ve kendisi olan 1’den büyük doğal sayılardır. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 … sayıları birer asal sayıdır.

ÖRNEK: 2, 5, 4, 15 sayılarından hangileri asaldır bulalım.

2 sayısı sadece 1 ve 2’ye kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayıdır.
5 sayısı sadece 1 ve 5’e kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayıdır.
4 sayısı 1’e, 2’ye ve 4’e kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayı değildir.
15 sayısı 1’e, 3’e, 5’e ve 15’e kalansız  bölünür. Bu yüzden asal sayı değildir.

Asal Sayılar ile İlgili Bilgiler

► 1 asal sayı değildir.

► 2 en küçük asal sayıdır.

► 2’den başka çift asal sayı yoktur. (Çünkü hepsi 2’ye de bölünür.)

► 1’den 100’e kadar olan asal sayılar

► İlk 1000 Asal Sayı 

Yüzlük Tabloda Asal Sayılar / Eratosthenes Kalburu

10 x 10’luk bir 100’lük tabloda 1’den 100’e kadar olan asal sayıları bulabiliriz. Bunun için yapmamız gereken ilk satırdaki asal sayıların kendileri dışındaki katlarına çarpı koymak. Geriye kalan sayılar asal sayılardır. Aşağıdaki Eratosten Kalburu‘nu inceleyiniz.

 ASAL ÇARPANLARA AYIRMA

Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için iki yöntem kullanabiliriz. Bunlar çarpan ağacı ve bölen listesidir.

1) Çarpan Ağacı

Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim.

Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.

NOT: Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir.

ÖRNEK: 36 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.

36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36’dır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.

36 sayısının asal çarpanları: 2 ve 3’tür. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:

ÖRNEK: 60 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.

60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.

60 sayısının asal çarpanları: 2, 3 ve 5’tir. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:

SORU: Aşağıdaki çarpan ağaçlarında verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.

ÇÖZÜM: Birinci çarpan ağacı örneğini birlikte yapalım, kalan çarpan ağacı örnekleri sizin olsun.

Çarpan ağacında her sayı altındaki sayıların çarpımına eşittir. Alttan başlayarak

A = 2.2 = 4
B = 2.4 = 8
C = 5.8 = 40 bulunur.

2) Asal Çarpanlar Algoritması (Bölen Listesi)

Asal Çarpanlar Algoritması nedir, nasıl yapılır görelim.

Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1’i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.

ÖRNEK: 36 sayısını asal çarpanlar algoritması ile asal çarpanlarına ayıralım.

NOT: Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir.

SORU: Aşağıdaki bölen listelerinde verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.

ÇÖZÜM: Birinci bölen listesi örneğini birlikte yapalım, kalan bölen listesi örnekleri sizin olsun.

Bölen listesinde soldaki sayıyı sağındaki sayıya böleriz, çıkan sonucu altına yazarız. Alttan başlayarak

A : 3 = 5 olacağı için A = 15

B : 2 = 15 olacağı için B = 30

C : 2 = 30 olacağı için A = 60 bulunur.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: