Denklem Sistemleri ve Çözüm Yöntemleri

  • BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
  • √ Denklem Sistemleri
  • √ Yerine Koyma Yöntemi
  • √ Yok Etme Yöntemi
  • √ Grafik Yardımıyla Çözme

DOĞRUSAL DENKLEMLER

a, b ve c Reel sayı ve a sıfırdan farklı olmak üzere; ax + by + c = 0 şeklindeki denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem veya doğrusal denklem denir.

Bu denklemin çözüm kümesi (x,y) ikililerinden oluşur. Bu ikililer koordinat sisteminde nokta belirtirler ve bu noktalar birleştirildiğinde bir doğru oluşur. Bu sebeple bu denklemlere doğrusal denklemler denir.

ÖRNEK: \(x+y-3=0\) denkleminin köklerini bulalım ve grafiğini çizelim.

Denklemde x ve y yerine yazılabilecek değerleri ikili olarak gösteririz.

x yerine bir değer yazarız ve bu değere karşılık y değerini buluruz.

x=0 için y=3 olur: (0,3)

x=1 için y=2 olur: (1,2)

x=2 için y=1 olur: (2,1)

şeklinde sonsuz tane değer bulabiliriz.

Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyip birleştirirsek bu denklemin grafiğini çizmiş oluruz.

Denklem Grafiği

 DENKLEM SİSTEMLERİ

Aynı değişkenlerden oluşan iki doğrusal denklem doğrusal denklem sistemi oluşturur. Denklem sistemlerinin çözüm kümesi kesişen doğrularda bir elemanlıdır. Denklem sisteminin çözümü iki denklemi de sağlayan değerdir.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklemler bir denklem sistemi oluşturur ve denklem sisteminin kökü (1,2)’dir.

\(\begin{array}{l}x+y=3\\2x-y=0\end{array}\)

İki denklemde de x yerine 1, y yerine 2 yazarsanız eşitliğin sağlandığını görürsünüz. Denklem sisteminin çözümü her iki denklemdeki eşitliği de sağlayan (x,y) ikilileridir.

DENKLEM SİSTEMLERİ NASIL ÇÖZÜLÜR?

Denklem sistemlerinin kökünü yani çözümünü bulmak için aşağıdaki yöntemleri kullanırız.

1) YERİNE KOYMA YÖNTEMİ

# İki bilinmeyenli denklem sisteminde verilen denklemlerden birinden, bilinmeyenlerden herhangi birisi diğeri cinsinden yazılır ve diğer denklemde yerine konularak çözüm kümesi bulunur.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklem sistemini yerine koyma yöntemini kullanarak adım adım çözelim.

\(\begin{array}{l}x+y=3\\2x-y=0\end{array}\)
 

Önce herhangi bir denklemde herhangi bir değişken yalnız bırakılır. Biz 2. denklemde y’yi yalnız bırakmayı tercih ettik.

\(\begin{array}{l}2x-y=0\\2x=y\end{array}\)
 

y’nin 2x’e eşit olduğunu bulduk. Bulduğumuz bu değeri diğer denklemde yerine yazarız.

\(\begin{array}{l}x+\boldsymbol y=3\\x+\mathbf2\boldsymbol x=3\\3x=3\\x=1\\\end{array}\)
 

x’in 1 olduğunu bulduk. y’nin 2x’e eşit olduğunu biliyorduk. x yerine 1 koyarak y’yi bulur ve denklem sisteminin kökünü bulmuş oluruz.

\(\begin{array}{l}y=2x\\y=2.1=2\\(x,y)\;\rightarrow(1,2)\end{array}\)
 

2) YOK ETME YÖNTEMİ

# Verilen denklemlerde herhangi bir değişkenin katsayıları denklemi genişletme veya sadeleştirme yöntemi ile eşit hale getirilir. Denklemler taraf tarafa toplanarak veya çıkarılarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Bu denklemden bilinmeyenlerden birinin değeri bulunur. Bulunan değer verilen denklemlerden birinde yerine konularak diğer bilinmeyen bulunur.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklem sistemini yok etme yöntemini kullanarak adım adım çözelim.

\(\begin{array}{l}2x+y=5\\3x-2y=-3\end{array}\)
 

Önce denklemlerden bir değişkeni yok edeceğiz. Bunun için yok edeceğimiz değişkeni seçmemiz lazım. x’i seçip üstteki denklemi 3, alttaki denklemi 2 ile genişletip iki denklemi taraf tarafa çıkarabilirdik. Biz burada katsayılarını eşitlemek kolay olduğu için y’yi seçiyoruz. Üstteki denklemi 2 ile genişletiyoruz ve y’nin katsayıları eşitleniyor. (İşaretlerin aynı olması gerekmiyor. İşaretleri aynı olursa çıkartırız, farklı olursa toplarız.)

\(\begin{array}{l}4x+2y=10\\3x-2y=-3\end{array}\)
 

İki denklemi tarafa tarafa toplarız.

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;4x+2y=10\\\;\;\;\;3x-2y=-3\\+\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\\;\;\;\;\;\;7x=7\rightarrow x=1\end{array}\)
 

x’i 1 bulduktan sonra herhangi bir denklemde x yerine 1 yazarız ve y’yi buluruz. Biz ilk denklemde x’i yerine yazmayı tercih ettik. Sonuç olarak denklem sistemini çözmüş oluruz.

\(\begin{array}{l}2x+y=5\\2.1+y=5\\y=5-2\\y=3\\(x,y)\rightarrow(1,3)\end{array}\)
 

3) GRAFİK KULLANARAK ÇÖZME YÖNTEMİ

# Denklem sisteminin çözümü, denklem sistemini oluşturan denklemlerin grafiklerinin kesişim noktasının koordinatlarıdır. Bu yüzden iki denklemin grafiği çizilerek kesişim noktasının koordinatları bulunursa bu denklem sisteminin çözümüdür.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklem sistemini denklemlerin grafikleri yardımıyla çözelim.

\(\begin{array}{l}x+y=1\\2x+y=-2\end{array}\)
 

1. denklemin grafiğini çizmek için grafik üzerinde bulunan en az iki noktayı bulmamız lazım. Bu noktaları x yerine ve y yerine sıfır koyarak bulursak eksenleri kesiği noktaları bulmuş oluruz.

\(x+y=1\) denkleminde:

x yerine “0” yazarsak y’yi “1” buluruz.

y yerine “0” yazarsak x’i “1”buluruz.

Demek ki bu doğru (0,1) ve (1,0) noktalarından geçiyormuş.

2. denklemin grafiğini çizmek için de aynı yöntemi izliyoruz.

\(2x+y=-2\) denkleminde:

x yerine “0” yazarsak y’yi “−2” buluruz.

y yerine “0” yazarsak x’i “−1” buluruz.

Demek ki bu doğru (0,−2) ve (−1,0) noktalarından geçiyormuş.

Şimdi bu iki doğruyu çizelim ve doğruların kesiştikleri noktayı bulalım. Bu nokta iki doğru denklemini de sağlayacağı için denklem sisteminin çözümü olur. Denklem siteminin çözümü: (−3,4)

Denkem Sistemleri Grafik İle Çözüm

DENKLEM SİSTEMLERİ İLE İLGİLİ

BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:

  • √ İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerini çözer.
  • √ Doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri ile bu denklemlere karşılık gelen doğruların grafikleri arasında ilişki kurar.

Bunları da beğenebilirsin