Kombinasyon – Permütasyon

  • BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
  • √ Permütasyon
  • √ Kombinasyon
  • √ Permütasyon ile Kombinasyon Arasındaki Fark

KOMBİNASYON NEDİR?

# n elemanlı bir kümenin elemanlarıyla oluşturulan grupların her birine kombinasyon adı verilir. Örneğin a,b,c,d harflerinden ikisiyle oluşturduğumuz a,b grubu ikili bir kombinasyondur. Küme içinde elemanların sırasının önemli olmadığı gibi kombinasyonlarda da sıranın önemi yoktur.

ÖRNEK: 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarıyla oluşturulabilecek tüm ikili kombinasyonları yazalım.

{1,2} , {1,3} , {1,4} , {1,5} , {2,3} , {2,4} , {2,5} , {3,4} , {3,5} , {4,5}

Görüldüğü gibi kombinasyonları yazarken {1,2} yazdıysak {2,1} yazmadık. 5 elemandan 10 adet 2’li kombinasyon oluşturabildik.

KOMBİNASYON NASIL HESAPLANIR?

n elemanlı bir kümenin r’li kombinasyonlarının sayısı C(n,r) şeklinde gösterilir. Bu kombinasyonların sayısı şu formülle hesaplanabilir:

Cn,r=n!nr! . r!

ÖRNEK: 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarıyla oluşturulabilecek ikili kombinasyonların sayısını bulalım.

Yukarıda tek tek yazdığımız kombinasyonların 10 tane olduğunu şimdi kombinasyon formülü ile bulacağız.

C5,2=5!52! . 2!=5!3! . 2!=5.4.3.2.13.2.1.2.1=202=10

# C(n,r) yani n’in r’li kombinasyonu \(\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}\) şeklinde de gösterilir.

ÖRNEK: 8 kişi arasından kurulacak 6 kişilik takım kaç farklı şekilde seçilebilir?

86=8!2! . 6!=8.7.6.5.4.3.2.12.1.6.5.4.3.2.1=562=28

ÖRNEK: 5 kız 4 erkek arasından 2 kız 2 erkek kaç farklı şekilde seçilebilir?

Burada kız ve erkek seçimini ayrı ayrı düşünüp çarparız.

52.42=5!3! . 2!.4!2! . 2!=10 . 6=60

ÖRNEK: KombinasyonYukarıdaki çember üzerinde 5 farklı noktada gösterilmiştir.

A) Bu beş noktanın herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir?

B) Köşe noktaları bu beş noktanın herhangi üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

ÇÖZÜM:

A) Doğru bu beş noktadan herhangi iki tanesinden geçeceği için 5 tane noktadan 2 tanesini kaç farklı şekilde seçebiliriz bulmamız gerekiyor. Bu da 5’in 2’li kombinasyonudur.

C5,2=5!52! . 2!=5!3! . 2!=5.4.3.2.13.2.1.2.1=202=10

B) Üçgen için bu beş noktadan 3 tanesini seçmemiz gerekiyor. Bu seçimi kaç farklı şekilde yapabileceğimizi şu şekilde hesaplarız:

C5,3=5!53! . 3!=5!2! . 3!=5.4.3.2.12.1. 3.2.1.=202=10

Bu sorularda gördüğünüz gibi 5’in 3’lü kombinasyonuyla 2’li kombinasyonlarının sayısı birbirine eşit. Bunun sebebi 3 ile 2’nin toplamının 5 olmasıdır.

# C (n , r) = C (n , n-r)

ÖRNEK: C (15,4) = C (15,11)

# C (n , 1) = n

ÖRNEK: C (10,1) = 10

C (15,14) = C (15,1) = 15 (Bir önceki özellikten dolayı 15’in 14’lü ve 1’li kombinasyonlarının sayısı eşittir.)

# C (n,0) = C (n,n) = 1

ÖRNEK: C (12, 0) = C (12,12) = 1

 PERMÜTASYON İLE KOMBİNASYON ARASINDAKİ FARK

Öğrencilerin genelde karıştırdığı ikilidir permütasyon ile kombinasyon. “Bu soruda permütasyon mu kombinasyon mu kullanacağım?” sorularına cevap bulmak aslında basit. Prensibimiz şu:

# Permütasyonda dizilim (sıralama) önemlidir ancak kombinasyonda sadece seçme işlemi vardır dizilimin bir önemi yoktur.

Permütasyonun ve kombinasyonun formüllerini tekrar hatırlayalım:

Pn,r=n!nr!  Cn,r=n!nr! . r!

Bunlara bakarak arasında şöyle bir ilişki de bulabiliriz.

C(n,r) = Pn,rr!

ÖRNEK: 5 kitaptan 3 tanesi seçilip bir rafa dizilecektir. Kaç farklı şekilde dizilim yapılabilir?

Bu soruda permütasyon kullanacağız.

P5,3=5!53!=5!2!=5.4.3.2.12.1=60

ÖRNEK: 5 kitaptan 3 tanesi seçilecektir, kaç farklı şekilde seçim yapılabilir?

Bu soruda kombinasyon kullanacağız.

C5,3=5!53! . 3!=5!2! . 3!=5.4.3.2.12.1. 3.2.1.=202=10
Bunları da beğenebilirsin