Binom Açılımı ve Pascal Üçgeni

PASCAL ÜÇGENİ

Fransız matematikçi Blaise Pascal‘ın adıyla anılan Pascal (Paskal) üçgeninin kuralı şu şekildedir:

► İlk satırda tek eleman vardır ve 1’dir.
► Alt satırlara inildikçe satırdaki eleman sayısı 1 artar.
► Her satırının ilk ve son elemanı 1’dir.
► Satırdaki diğer elemanlar bir üst satırdaki kendine komşu olan iki sayının toplamıdır.

Yukarıdaki kurala göre devam eden Paskal üçgeninin aşağıda ilk 6 satırı verilmiştir.

Paskal Üçgeni

BİNOM AÇILIMI

Aşağıdaki özdeşlikleri ya biliyoruz ya da çarpma işlemi yaparak kolayca bulabiliriz.

(x + y)1 = x + y

(x + y)2 = (x + y).(x + y) = x2 + 2xy + y2

(x + y)3 = (x + y).(x + y).(x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Ancak kuvvet büyüdükçe özdeşliği çarpma işlemi yaparak bulmak zorlaşır. Bu durumda kombinasyon yardımıyla binom açılımını kullanarak özdeşlikleri bulabiliriz.

x ve y sıfırdan farklı ve n bir doğal sayı olmak (x + y)n ifadesinin x ve y’nin kuvvetleri cinsinden açılımına binom açılımı denir.

(x + y)n = \(\binom{n}{0}\) xn−0 y0 + \(\binom{n}{1}\) xn−1 y1 + \(\binom{n}{2}\) xn−2 y2 + … + \(\binom{n}{n}\) xn−n yn

Binom açılımında terimleri oluştururken katsayıları kombinasyon yardımıyla hesaplarız. x’in azalan kuvvetlerine göre açılım yaparken x’in üssünü n’den başlayıp her terimde bir azaltırız, y’nin üssünü 0’dan başlayıp her terimde bir arttırırız. Böylece son terimde x’in üssü 0, y’nin üssü n olmuş olur.

ÖRNEK: (x + y)5 ifadesinin özdeşini binom formülünü kullanarak x’in azalan kuvvetlerine göre yazalım.

Terimlerin katsayılarını \(\binom{5}{0}\)‘dan \(\binom{5}{5}\)‘e doğru sırayla yazarız. x’in kuvvetlerini 5’ten 0’a doğru, y’nin kuvvetlerini 0’dan 5’e doğru sırayla terimlere yazarız.

(x + y)5 = \(\binom{5}{0}\) x5 y0 + \(\binom{5}{1}\) x4 y1 + \(\binom{5}{2}\) x3 y2 + \(\binom{5}{3}\) x2 y3 + \(\binom{5}{4}\) x1 y4 + \(\binom{5}{5}\) x0 y5

Daha sonra katsayılardaki kombinasyon değerlerini hesaplayıp yerlerine yazarız.

(x + y)5 = 1 x5 y0 + 5 x4 y1 + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x1 y4 + 1 x0 y5

Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.

(x + y)5 = x5 + 5 x4 y + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x y4 + y5

PASCAL ÜÇGENİ – BİNOM AÇILIMI İLİŞKİSİ

Pascal üçgenindeki sayılar kombinasyon hesabı ile de elde edilebilir. Bu kombinasyon değerleri aynı zamanda (x + y)n ifadesinin açılımında katsayılara karşılık gelir. Bu ilişki sayesinde açılımdaki katsayılar kombinasyon hesabı yerine Pascal üçgeninden bulunabilir.

Paskal üçgeni - Binom açılımı ilişkisi

ÖRNEK: (x + y)4 ifadesinin özdeşini Pascal üçgeninden faydalanarak x’in artan kuvvetlerine göre yazalım.

Terimlerin katsayılarının 1 4 6 4 1 olduğunu Pascal üçgeninin 5. satırından görebiliriz. x’in kuvvetlerini 0’dan 4’e doğru, y’nin kuvvetlerini 4’ten 0’a doğru sırayla terimlere yazarız.

(x + y)4 = 1 x0 y4 + 4 x1 y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y1 + 1 x4 y0

Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.

(x + y)4 = y4 + 4 x y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y + x4

Pascal Özdeşliği

Pascal üçgeninde bir satırdaki iki elemanın toplamının alt-ortalarındaki elemana eşit olduğunu biliyoruz. Bu özelliği yukarıdaki görselde kombinasyonla oluşturulmuş üçgende de kullanabiliriz.

Örneğin Pascal üçgeninde 4 ve 6’nın toplamı alt-ortalarındaki 10’a eşittir. Bu sayıların yerlerine kombinasyon üçgeninde bakacak olursak \(\binom{4}{1}\) + \(\binom{4}{2}\) = \(\binom{5}{2}\) eşitliğini görürüz. Bu eşitliği genellersek aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.

\(\binom{n}{r}\) + \(\binom{n}{r+1}\) = \(\binom{n+1}{r+1}\) eşitliğine Pascal özdeşliği denir.

ÖRNEK: \(\binom{12}{5}\) + \(\binom{12}{6}\) ifadesinin \(\binom{13}{6}\)‘ya eşit olduğunu pascal özdeşliği sayesinde söyleyebiliriz.

BİNOM AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ

Terim sayısı

(x+y)n ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1‘dir.

ÖRNEK: (2x + 3y)10 ifadesinin açılımında 10+1 = 11 terim vardır.

Terimlerdeki üsler toplamı

(x+y)n ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n‘dir.

ÖRNEK: (3x − y)8 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 7. terimi inceleyelim.

Bu ifadenin açılımdaki 7. terimi 252x2y6 dir. Burdaki x’in ve y’nin üslerini toplarsak 2 + 6 = 8 olduğunu görürüz.

Baştan r+1 inci terim

(x+y)n ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1‘inci terim \(\binom{n}{r}\) (x)n−r (y)r dir.

ÖRNEK: (2x + 4y)5 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini bulalım.

r + 1 = 4 olduğu için r = 3’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 3, x yerine 2x, y yerine de 4y yazarız.

\(\binom{n}{r}\) (x)n−r (y)r = \(\binom{5}{3}\) (2x)5−3 (4y)3 = 10 . 4x2 . 64y3 = 2560x2y3

Sondan r+1 inci terim

(x+y)n ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan r + 1‘inci terim \(\binom{n}{r}\) (x)r (y)n−r dir.

ÖRNEK: (x − 2y)7 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan 5. terimini bulalım.

r + 1 = 5 olduğu için r = 4’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 4, x yerine x, y yerine de −2y yazarız.

\(\binom{n}{r}\) (x)r (y)n−r = \(\binom{7}{4}\) (x)4 (−2y)7−4 = 35 . x4 . (−8y3) = −280x4y3

Ortanca terim

n doğal sayı olmak üzere (x+y)2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \(\binom{2n}{n}\) (x)n (y)n dir.

ÖRNEK: (2x − 1)10 ifadesinin açılımında ortada yer alan terimi bulalım.

İfadenin üssü 10 olduğundan n = 5 alırız. Aşağıdaki ifadede n yerine 5, x yerine 2x, y yerine −1 yazarız.

\(\binom{2n}{n}\) (x)n (y)n = \(\binom{10}{5}\) (2x)5 (−1)5 = 252 . 32x5 . (−1) = −8064x5

Katsayılar toplamı

(x+y)n ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır.

ÖRNEK: (3x − 5y)4 ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır bulalım.

Katsayılar toplamını bulmak için x ve y yerine 1 yazarız.

Katsayılar toplamı = (3.1 − 5.1)4 = (3 − 5)4 = (−2)4 = 16

Sabit terim

(x+y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır.

ÖRNEK: (3x − 1)5 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır bulalım.

Sabit terimi bulmak için x yerine 0 yazarız.

Sabit terim = (3.0 − 1)5 = (0 − 1)5 = (−1)5 = −1

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: (x − y)5 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.

(x − y)5 = \(\binom{5}{0}\) x5 (−y)0 + \(\binom{5}{1}\) x4 (−y)1 + \(\binom{5}{2}\) x3 (−y)2 + \(\binom{5}{3}\) x2 (−y)3 + \(\binom{5}{4}\) x1 (−y)4 + \(\binom{5}{5}\) x0 (−y)5

(x − y)5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3 y2 − 10 x2 y3 + 5 x y4 − y5

ÖRNEK 2: (3x + 2y)3 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.

(3x + 2y)3 = \(\binom{3}{0}\) (3x)3 (2y)0 + \(\binom{3}{1}\) (3x)2 (2y)1 + \(\binom{3}{2}\) (3x)1 (2y)2 + \(\binom{3}{3}\) (3x)0 (2y)3

(3x + 2y)3 = 27 x3 + 54 x2 y + 36 x y2 + 8y3

ÖRNEK 3: (x + 7)3k+1 ifadesinin açılımında 11 terim bulunduğuna göre k kaçtır bulalım.

(x+y)n ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1’dir. Bu yüzden

3k + 2 = 11
3k = 9
k = 3 buluruz.

ÖRNEK 4: (2x + y)k ifadesinin açılımındaki terimlerden biri A.x2.y4 olduğuna göre k kaçtır bulalım.

(x+y)n ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n’dir. Bu yüzden

k = 2 + 4
k = 6 buluruz.

ÖRNEK 5: (−2x + 1)5 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini bulalım.

(x+y)n ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1’inci terim \(\binom{n}{r}\) (x)n−r (y)r dir. Bu yüzden r + 1 = 4 eşitliğinden r = 3 elde ederiz.

\(\binom{5}{3}\) (−2x)5−3 (1)3

10 . 4 . x2 . 1 = 40x2

ÖRNEK 6: (−x − 2)6 ifadesinin açılımının ortadaki terimini bulalım.

(x+y)2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \(\binom{2n}{n}\) (x)n (y)n dir. Bu yüzden n yerine 3, x yerine −x, y yerine −2 yazarız.

\(\binom{6}{3}\) (−x)3 (−2)3 = 20 . (−x3) . (−8) = 160x3

ÖRNEK 7: (2x − 3y)5 ifadesinin katsayılar toplamını bulalım.

(x+y)n ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır. Bu yüzden katsayılar toplamını (2.1 − 3.1)5 = (−1)5 = −1 buluruz.

ÖRNEK 8: (3x − 2)6 ifadesinin sabit terimini bulalım.

(x+y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır. Bu yüzden sabit terimi (3.0 − 2)6 = (−2)6 = 64 buluruz.

Bunları da beğenebilirsin
Yorumlar