Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

TANIM VE KAVRAMLAR

> (büyüktür), ≥ (büyüktür veya eşittir), < (küçüktür), ≤ (küçüktür veya eşittir) sembolleri ile yazılan matematiksel ifadelere eşitsizlik denir.

a,b \(\in\) R ve a \(\neq\) 0 olmak üzere;

ax + b > 0
ax + b ≥ 0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0

şeklindeki eşitsizliklere x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.

Eşitsizliklerin derecesi, değişkenin kuvvetine bağlıdır.

► 6x + 3 > 5 ve \(\frac{2x}{3}\) − 12 ≤ 30 eşitsizlikleri birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliktir.

► x2 < 16 ve \(\sqrt{x}\) + 1 ≤ 9 eşitsizlikleri birinci dereceden eşitsizlik değildir.

Bir eşitsizlikte değişkenin (x) eşitsizliği sağlayan değer aralığını bulmaya eşitsizlik çözmek denir.

Değişkenin (x) eşitsizliği sağlayan değer aralığına çözüm kümesi adı verilir ve genelde Ç harfi ile gösterilir.

Eşitsizlik çözerken amacımız değişkeni eşitsizliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır. Aşağıdaki özellikler kullanılarak eşitsizlikler çözülür ve çözüm kümesi bulunur.

EŞİTSİZLİKLERİN ÖZELLİKLERİ

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı reel sayı eklenebilir ya da her iki tarafından aynı reel sayı çıkarılabilir.

x < y ise x + a < y + a ve x − a < y − a olur.

ÖRNEK: x + 2 < 14 eşitsizliğini çözelim.

x + 2 < 14 (Eşitsizliğin her iki tarafına −2 eklenir veya 2 çıkartılır.)

x + 2 − 2 < 14 − 2

x < 12

Çözüm kümesi (−∞,12) olarak bulunur.

ÖRNEK: 2x − 5 > x − 2 eşitsizliğini çözelim.

2x − 5 > x − 2 (Eşitsizliğin her iki tarafından x çıkartılır.)

x − 5 > −2 (Eşitsizliğin her iki tarafına 5 eklenir.)

x > 3

Çözüm kümesi (3,∞) olarak bulunur.

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif reel sayı ile çarpılabilir ya da bölünebilir.

x < y ve a \(\in\) R+ ise x.a < y.a ve \(\frac{x}{a}\) < \(\frac{y}{a}\) olur.

ÖRNEK: 3x ≤ 21 eşitsizliğini çözelim.

3x ≤ 21 (Eşitsizliğin her iki tarafı 3’e bölünür.)

x ≤ 7

Çözüm kümesi (−∞,7] olarak bulunur.

ÖRNEK: \(\frac{x}{3}\) > 2 eşitsizliğini çözelim.

\(\frac{x}{3}\) > 2 (Eşitsizliğin her iki tarafı 3 ile çarpılır.)

x > 6

Çözüm kümesi (6,∞) olarak bulunur.

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif reel sayı ile çarpılır ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

x < y ve a \(\in\) R ise x.a > y.a ve \(\frac{x}{a}\) > \(\frac{y}{a}\) olur.

ÖRNEK: −2x ≥ 10 eşitsizliğini çözelim.

−2x ≥ 10 (Eşitsizliğin her iki tarafı −2’ye bölünür.)

x ≤ −5

Çözüm kümesi (−∞,−5] olarak bulunur.

ÖRNEK: \(\frac{-x}{10}\) > 5 eşitsizliğini çözelim.

\(\frac{-x}{10}\) > 5 (Eşitsizliğin her iki tarafı −10 ile çarpılır.)

x < −50

Çözüm kümesi (−∞,−50) olarak bulunur.

Aynı yönlü eşitsizlikler tarafa tarafa toplanabilir. Taraf tarafa çıkarma, çarpma, bölme işlemleri yapılmaz.

x < y ve a < b ise x + a < y + b olur.

ÖRNEK: 29 > x > 21 ve −3 < y < 10 ise x + y ‘nin değer aralığını bulalım.

21 < x < 29 (Eşitsizlikleri aynı yönlü olacak şekilde yazarız.)
−3 < y < 10 (Eşitsizlikleri taraf tarafa toplarız.)

19 < x+y < 39

x+y’nin değer aralığı (19,39) olarak bulunur.

Eşitsizlikler taraf tarafa toplanırken, alt alta toplanan sınır noktalarının her ikisi de dahil ise toplam olarak yazılan yeni eşitsizliğe sınır noktası dahil edilir. Diğer durumlarda ise dahil edilmez.

ÖRNEK: 10 ≤ x ≤ 15 ve 12 ≤ y < 20 ise x + y ‘nin değer aralığını bulalım.

10 ≤ x ≤ 15 (Aralığa alt ve üst sınır dahil.)
12 ≤ y < 20 (Aralığa alt sınır dahil üst sınır dahil değil.)

Alt sınırlar iki eşitsizlikte de dahil olduğu için yeni eşitsizlikte alt sınırlar dahil edilir.

22 ≤ x+y < 35

x+y’nin değer aralığı [22,35) olarak bulunur.

Her iki tarafı da aynı işaretli olan eşitsizliklerde iki tarafın çarpma işlemine göre tersi alınırsa eşitsizlik yön değiştirir.

x ve y sıfırdan farklı ve aynı işaretli gerçek sayılar olmak üzere x < y ise \(\frac{1}{x}\) > \(\frac{1}{y}\) olur.

ÖRNEK: x \(\in\) R+ olmak üzere \(\frac{1}{3}\) ≤ \(\frac{1}{x}\) < 2 ise 2x+3’ün değer aralığını bulalım.

\(\frac{1}{3}\) ≤ \(\frac{1}{x}\) < 2 (Tüm taraflar pozitif olduğu için çarpmaya göre tersi alınır ve eşitsizlik yön değiştirir.)

3 ≥ x > \(\frac{1}{2}\) (Her taraf 2 ile çarpılır.)

6 ≥ 2x > 1 (Her tarafa 3 eklenir.)

9 ≥ 2x + 3 > 4 (Her tarafa 3 eklenir.)

2x+3’ün değer aralığı (4,9] olarak bulunur.

SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME

Verilen bir eşitsizliğin çözüm kümesini gerçek sayılarda aralık kavramı konusunda anlatıldığı şekilde sayı doğrusunda gösterilir.

ÖRNEK: 3x − 4 > −16 eşitsizliğini çözelim ve çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim.

3x − 4 > −16

3x  > −12

x > −4

Çözüm kümesi (−4,∞) olarak bulunur.

ÖRNEK: −11 ≤ 2x + 3 < 21 eşitsizliğini çözelim ve çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim.

−11 ≤ 2x + 3 < 21

−14 ≤ 2x < 18

−7 ≤ x < 9

Çözüm kümesi [−7,9) olarak bulunur.

ÖRNEK: 2x − 4 < x − 1 ≤ 3x + 7 eşitsizliğini çözelim ve çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim.

Eşitsizliğin üç tarafında farklı katsayılara sahip olan bu tür eşitsizliklerin çözüm iki parça halinde yapılır ve bulunan kümelerin kesişimi alınır.

► 1. KISIM

2x − 4 < x − 1

x < 3

► 2. KISIM

x − 1 ≤ 3x + 7

−8 ≤ 2x

−4 ≤ x

Bu iki eşitsizliğin (−4 ≤ x ve x < 3) kesişimi −4 ≤  x < 3 olur.

Çözüm kümesi [−4,3) olarak bulunur.

Bunları da beğenebilirsin