f : A → B, y = f (x) fonksiyonunu sağlayan bütün (x, y) sıralı ikililerinin dik koordinat sisteminde gösterilmesiyle oluşan noktalar kümesine f fonksiyonunun grafiği denir. Bu grafik çizilirken yatay eksende fonksiyonun tanım kümesinin elemanları, dikey eksende ise fonksiyonun değer kümesinin elemanları gösterilir.
Bir fonksiyonun grafiği çizilirken fonksiyonun türüne göre farklı adımlar izlenir. Bu konuda doğrusal fonksiyonların ve parçalı fonksiyonların grafikleri nasıl çizilir ele alacağız.
DOĞRUSAL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
f : R → R, f (x) = ax + b biçimindeki doğrusal fonksiyonların grafikleri koordinat sisteminde y = ax + b doğrusudur ve bu doğru şu adımlar takip ederek çizilebilir:
► Doğrunun çizilebilmesi için geçtiği noktalardan en az 2 tanesi bilinmelidir. Bunun için fonksiyonu sağlayan (x, y) sıralı ikilileri bulunmalıdır.
► y = ax + b denkleminde x’e bir sayı değeri verilerek bu x’e karşılık gelen y değeri bulunur. Böylelikle bir tane (x, y) noktası elde edilmiş olunur.
► Aynı işlem, x’e farklı bir sayı değeri verilerek tekrarlanırsa ikinci (x, y) noktası da bulunmuş olunur.
(x’e değer verip y bulunabildiği gibi y’ye değer verip x de bulunabilir.)
► Elde edilen noktalar koordinat sisteminde işaretlenir ve düz bir çizgiyle birleştirilir. Sonuç olarak f (x) = ax + b doğrusal fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur.
ÖRNEK: f : R → R olmak üzere f(x) = x − 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Doğrunun geçtiği noktalardan en az 2 tanesini buluruz. Bu noktaları bulmak için x’e ya da y’ye rastgele değer verebileceğimiz gibi x yerine “0” koyarak doğrunun y eksenini kestiği noktayı, y yerine “0” koyarak doğrunun x eksenini kestiği noktayı bulmamız hem çizim kolaylığı hem de genel kabule uyum açısından daha uygun olacaktır.
y = x − 3 denkleminde;
x yerine “0” koyarsak y için “−3” değerini,
x yerine “5” koyarsak y için “2” değerini,
y yerine “0” koyarsak x için “3” değerini buluruz.
| x | y | (x , y) |
| 0 | −3 | (0 , −3) |
| 5 | 2 | (5 , 2) |
| 3 | 0 | (3 , 0) |
Bulduğumuz bu üç noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu noktalardan geçen doğruyu çizeriz. Bu doğru f(x) = x−3 fonksiyonunun grafiğidir.
ÖRNEK: g : R → R olmak üzere g(x) = −2x fonksiyonunun grafiğini çizelim.
y = −2x denkleminde;
x yerine “0” koyarsak y için “0” değerini,
x yerine “2” koyarsak y için “−4” değerini buluruz.
| x | y | (x , y) |
| 0 | 0 | (0 , 0) |
| 2 | −4 | (2 , −4) |
Bulduğumuz bu iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu noktalardan geçen doğruyu çizeriz. Bu doğru g(x) = −2x fonksiyonunun grafiğidir.
ÖRNEK: h : R → R olmak üzere h(x) = 4 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
h(x) = 4 fonksiyonu sabit bir fonksiyondur. y = 4 denkleminde x değişkeni bulunmadığı için x’in her değeri için y = 4’tür.
| x | y | (x , y) |
| −2 | 4 | (−2 , 4) |
| 3 | 4 | (3 , 4) |
Bulduğumuz bu iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu noktalardan geçen doğruyu çizeriz. Bu doğru h(x) = 4 fonksiyonunun grafiğidir.
ÖRNEK: f : [−4,5) → R olmak üzere f(x) = x − 1 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Bu fonksiyonun grafiğini çizerken tanım kümesindeki sınır değerleri olan −4 ve 5’i x yerine yazalım.
y = x − 1 denkleminde;
x yerine “−4” koyarsak y için “−5” değerini,
x yerine “5” koyarsak y için “4” değerini buluruz.
| x | y | (x , y) |
| −4 | −5 | (−4 , −5) |
| 5 | 4 | (5 , 4) |
Bulduğumuz bu iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu noktalar arasındaki doğru parçasını çizeriz. Fonksiyonun tanım kümesi [−4,5) olduğu için −4 noktasının içini dolu, 5 noktasının içini boş çizeriz.
Doğrusal Fonksiyonlarda Katsayı Grafik İlişkisi
f (x) = ax + b fonksiyonunda a değerinin değişmesi fonksiyon grafiğinin eğiminin değişmesiyle sonuçlanır.
ÖRNEK: f(x) = 10x, g(x) = 3x, h(x) = x, t(x) = x/2 fonksiyonlarının grafiklerini inceleyelim.
Grafikleri incelediğimizde bu fonksiyonların hepsinin y eksenini aynı noktada kestiğini ancak eğimlerinin (y’deki değişimin x’teki değişime oranlarının) farklı olduğunu görürüz.
Pozitif a değerinin (x’in katsayısının) artması grafiği y eksenine daha yakın bir hale getirir.
ÖRNEK: f(x) = −3x+2, g(x) = −2x+2, h(x) = −x+2 fonksiyonlarının grafiklerini inceleyelim.
Grafikleri incelediğimizde bu fonksiyonların hepsinin y eksenini aynı noktada kestiğini ancak eğimlerinin (y’deki değişimin x’teki değişime oranlarının) farklı olduğunu görürüz.
Negatif a değerinin (x’in katsayısının) mutlak değerce artması grafiği y eksenine daha yakın bir hale getirir.
f (x) = ax + b fonksiyonunda b değerinin değişmesi fonksiyon grafiğinin yukarı ya da aşağı ötelenmesiyle sonuçlanır.
ÖRNEK: f(x) = x + 2, g(x) = x, h(x) = x − 1 fonksiyonlarının grafiklerini inceleyelim.
► g(x) = x fonksiyonu orijinden geçiyor.
► f(x) = x + 2 fonksiyonu y eksenini 2 noktasında kesiyor. Bu fonksiyon g(x) = x fonksiyonunun 2 birim yukarı ötelenmiş halidir.
► h(x) = x − 1 fonksiyonu y eksenini −1 noktasında kesiyor. Bu fonksiyon g(x) = x fonksiyonunun 1 birim aşağı ötelenmiş halidir.
PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Parçalı tanımlı fonksiyonların grafikleri çizilirken fonksiyon parçalarına ayrılır ve her bir parçanın grafiği ayrı ayrı çizilir. Daha sonra bu grafikler parçaların tanım kümesi aralıklarına göre alınıp birleştirilir.
ÖRNEK: p : R → R olmak üzere aşağıdaki şekilde tanımlanan parçalı fonksiyonun grafiğini çizelim.
\(p(x)=\left\{\begin{array}{lc}-2x&,\;x<-2\\-x+2&,-2\leq x<3\\x-3&,3\leq x\end{array}\right.\)Fonksiyonun parçalarının ayrı ayrı grafiği çizilirse aşağıdaki gibi grafikler elde edilir.
Parçalı fonksiyonun kritik noktaları −2 ve 3 olduğu için bu kritik noktalara göre grafiklerin ilgili kısımlarını alacağız.
x’in −2’den küçük değerleri için kırmızı grafiği,
x’in [−2, 3) aralığındaki değerleri için yeşil grafiği,
x’in 3’e eşit ve 3’ten büyük değerleri için mavi grafiği alacağız.
Bu şekilde parçaları birleştirdiğimizde p(x) fonksiyonumuzun grafiği aşağıdaki gibi olur.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Fonksiyonlarda Dört İşlem | Fonksiyon Grafiklerini Yorumlama |
matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!