Fonksiyonlarda Dört İşlem

Sayılarda olduğu gibi fonksiyonlarda da toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemi yapılabilir.

FONKSİYONLARDA TOPLAMA İŞLEMİ

A \(\cap\) B \(\neq \varnothing\) olmak üzere f: A → R ve g: B → R fonksiyonlarının toplamı şu şekilde tanımlanır;

(f+g): A \(\cap\) B → R
(f+g)(x) = f(x) + g(x)

ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların toplamı olan f+g’yi bulalım.

f = {(0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9)}
g = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)}

f+g fonksiyonunun tanım kümesi f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişimidir.
f+g’nin tanım kümesi {0, 1, 2, 3} olur.

Tanım kümesindeki elemanların f+g altındaki görüntüsü ise bu elemanların f ve g altındaki görüntülerinin toplamıdır.

f+g = {(0, 0+0), (1, 3+1), (2, 6+4), (3, 9+9)}
f+g = {(0, 0), (1, 4), (2, 10), (3, 18)}

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x2 + 3x ve g(x) = 4x2 − 5x + 7 fonksiyonları için (f+g)(x) ifadesini bulalım.

(f+g)(x) = f(x) + g(x)
(f+g)(x) = (x2 + 3x) + (4x2 − 5x + 7)
(f+g)(x) = 5x2 − 2x + 7

FONKSİYONLARDA ÇIKARMA İŞLEMİ

A \(\cap\) B \(\neq \varnothing\) olmak üzere f: A → R ve g: B → R fonksiyonlarının toplamı şu şekilde tanımlanır;

(f−g): A \(\cap\) B → R
(f−g)(x) = f(x) − g(x)

ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların farkları olan f−g’yi ve g−f’yi bulalım.

f ={(0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11)}

g = {(0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5)}

f−g ve g−f fonksiyonlarının tanım kümesi f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişimidir.
f−g ve g−f ‘nin tanım kümesi {0, 1, 4} olur.

Tanım kümesindeki elemanların f−g ve g−f altındaki görüntüsü ise bu elemanların f ve g altındaki görüntülerinin farkıdır.

f−g = {(0, 3−0), (1, 5−1), (4, 11−2)}
f−g = {(0, 3), (1, 4), (4, 9)}

g−f = {(0, 0−3), (1, 1−5), (4, 2−11)}
g−f = {(0, −3), (1, −4), (4, −9)}

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x2 + 3x ve g(x) = 4x2 − 5x + 7 fonksiyonları için (f−g)(10) değerini bulalım.

(f−g)(10) değerini iki yolla bulabiliriz.

1.YOL: f(x) fonksiyonundan g(x) fonksiyonunu çıkartarak (f−g)(x) ifadesini elde ederiz. Sonra bu ifadede x yerine 10 yazarız.

(f−g)(x) = f(x) − g(x)
(f−g)(x) = (x2 + 3x) − (4x2 − 5x + 7)
(f−g)(x) = −3x2 +8x − 7

(f−g)(10) = −3.102 +8.10 − 7
(f−g)(10) = −227

2. YOL: f(x) ve g(x) fonksiyonlarında x yerine 10 yazarak f(10) ve g(10)’u buluruz. Sonra f(10) değerinden g(10) değerini çıkartırız.

f(10) = 102+3.10 = 130
g(10) = 4.102 − 5.10 + 7 = 357

(f−g)(10) = f(10) − g(10)
(f−g)(10) = 130 − 357
(f−g)(10) = −227

FONKSİYONLARDA ÇARPMA İŞLEMİ

A \(\cap\) B \(\neq \varnothing\) olmak üzere f: A → R ve g: B → R fonksiyonlarının toplamı şu şekilde tanımlanır;

(f.g): A \(\cap\) B → R
(f.g)(x) = f(x) . g(x)

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x + 3 ve g(x) = x − 3 olduğuna göre (f.g)(x) ifadesini bulalım.

(f.g)(x) = f(x) . g(x)
(f.g)(x) = (x + 3) . (x − 3)
(f.g)(x) = x2 − 9

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = 2x ve g(x) = x + 5 olduğuna göre (f.g)(8) değerini bulalım.

f(8) = 2 . 8 = 16
g(8) = 8 + 5 = 13

(f.g)(8) = f(8) . g(8)
(f.g)(8) = 16 . 13 = 208

FONKSİYONLARDA BÖLME İŞLEMİ

A \(\cap\) B \(\neq \varnothing\) olmak üzere f: A → R ve g: B → R fonksiyonlarının toplamı şu şekilde tanımlanır;

(\(\frac{f}{g}\)): A \(\cap\) B → R
(\(\frac{f}{g}\))(x) = \(\frac{f(x)}{g(x)}\)
(g(x) \(\neq\) 0)

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x2 ve g(x) = −2x olduğuna göre (\(\frac{f}{g}\))(10) değerini bulalım.

f(10) = 102 = 100
g(10) = −2 . 10 = −20

(\(\frac{f}{g}\))(10) = \(\frac{f(10)}{g(10)}\)
(\(\frac{f}{g}\))(10) = \(\frac{100}{-20}\) = −5

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: f: R → R, f(x) = x + 5 ve g(x) = 3x olmak üzere aşağıdaki işlemleri yapalım.

a) (f + g)(x)

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= x + 5 + 3x
= 4x + 5

b) (2f − 3g)(x)

(2f − 3g)(x) = 2.f(x) − 3.g(x)
= 2.(x + 5) − 3.(3x)
= 2x + 10 − 9x
= −7x + 10

c) (4.f.g)(x)

(4.f.g)(x) = 4 . f(x) . g(x)
= 4 . (x + 5) . (3x)
= 12x2 + 60x

d) (\(\frac{f}{g}\))(x)

(\(\frac{f}{g}\))(x) = \(\frac{f(x)}{g(x)}\) = \(\frac{x + 5}{3x}\)

ÖRNEK 2: f: R → R, f(x) = 2x ve g(x) = 3x + 1 olmak üzere fonksiyonların istenilen değerlerini bulalım.

a) (f + g)(4)

(f + g)(4) = f(4) + g(4)
= 8 + 13
= 21

b) (f − 2g)(6)

(f − 2g)(6) = f(6) − 2.g(6)
= 12 − 2.19
= −26

c) (f2)(5)

(f2)(5) = f(5) . f(5)
= 10 . 10
= 100

d) (\(\frac{f}{g}\))(−1)

(\(\frac{f}{g}\))(−1) = \(\frac{f(-1)}{g(-1)}\)
= \(\frac{2.(-1)}{3.(-1)+1}\)
= \(\frac{-2}{-2}\)
= 1

ÖRNEK 3: Aşağıda verilen f ve g fonksiyonlarını kullanarak istenilen fonksiyonları bulalım.

f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
g = {(3, 5), (4, 7), (5, 9), (6, 11), (7, 13)}

a) f + g

Bu fonksiyonun tanım kümesi f ve g’nin tanım kümesinin kesişimidir. Görüntü kümesi ise bu elemanların görüntülerinin toplamıdır.

f + g = {(3, 4+5), (4, 5+7), (5, 6+9)}
f + g = {(3, 9), (4, 12), (5, 15)}

b) f . g

Bu fonksiyonun tanım kümesi f ve g’nin tanım kümesinin kesişimidir. Görüntü kümesi ise bu elemanların görüntülerinin çarpımıdır.

f . g = {(3, 4.5), (4, 5.7), (5, 6.9)}
f . g = {(3, 20), (4, 35), (5, 54)}

c) 2 . f

Bu fonksiyonun tanım kümesi f’in tanım kümesiyle aynıdır. Görüntü kümesi ise bu elemanların görüntülerinin 2 katıdır.

2 . f = {(1, 2.2), (2, 2.3), (3, 2.4), (4, 2.5), (5, 2.6)}
2 . f = {(1, 4), (2, 6), (3, 8), (4, 10), (5, 12)}

ÖRNEK 4: f : R → R ve g : R → R fonksiyonları için f(x) = x + 5 ve (2f − 3g)(x) = 8x + 19 olduğuna göre g(x) fonksiyonunu bulalım.

(2f − 3g)(x) = 2.f(x) − 3.g(x) olduğundan bunu 8x+19’a eşitleriz ve f(x) yerine x+5 yazarız.

2.f(x) − 3.g(x) = 8x + 19
2.(x + 5) − 3.g(x) = 8x + 19
2x + 10 − 3.g(x) = 8x + 19
−3.g(x) = 6x + 9
g(x) = −2x − 3 olur.


Bunları da beğenebilirsin
YORUMLAR