Fibonacci Sayı Dizisi

FİBONACCİ DİZİSİ NEDİR: Fibonacci dizisi, 0 ve 1 ile başlayan ve her sayının kendisinden önce gelen iki sayının toplanması ile elde edildiği bir sayı dizisidir. İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci‘den adını alır.

Fibonacci Sayıları

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,  89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …

_{Bazı kaynaklarda fibonacci sayıları 0’dan değil 1’den başlatılır.}

FİBONACCİ DİZİSİ KURALI

Fibonacci sayı dizisinin kuralını matematiksel olarak ifade etmede n’inci Fibonacci sayısını F(n) olarak gösterelim. Buna göre fibonacci sayı dizisi genel terimi şu şekilde yazılır:

FİBONACCİ SAYILARI VE ALTIN ORAN

Fibonacci sayılarının ilginç özellikleri vardır. Mesela n sayısı büyüdükçe iki ardışık Fibonacci sayısının oranı Altın oran’a yani 1.618… e yakınsar.

Altın oran ve Fibonacci

F₂ / F₁ = 1,000000

F₃ / F₂ = 2,000000

F₄ / F₃ = 1,500000

…

F₁₁ / F₁₀ = 1,618181

…

F₁₄ / F₁₃ = 1,618025

F₁₅ / F₁₄ = 1,618037

F₁₆ / F₁₅ = 1,618032

Bu işleme devam edecek olursak bu oran ( F_n+1 / F_n ) Altın orana (1,618033988749894…) giderek yaklaşacaktır.

FİBONACCİ SAYILARININ HİKAYESİ

İtalyan matematikçi Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde tavşan çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problem sorar. Bu probleme göre arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre Fibonacci’nin arkadaşı bir çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift tavşanı olur?

İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun. Matematik problemlerinde bu yavruların anasız babasız nasıl büyütülecekleri konusuna pek girilmez. İkinci ayda bu tavşanlar henüz yavrulamadıkları için hala bir çift tavşanımız var. Üçüncü ay bunlar bir çift yavru verecek ve iki çift tavşanımız olacak. Yeni doğan çift dördüncü ay doğurmayacak, oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu şekilde devam edersek pek bir yere varamayacağız galiba.

Düşünsenize 100.aya kadar hesabı böyle götürmemiz mümkün mü? Örneğin 100. ayda kaç tavşanımız olacağını doğrudan hesaplamaya çalışalım. 99.ayda kaç tavşanımız varsa onların hepsi 100. ayda da olacak. Bunların bir kısmı yavrulayacak. Yavrulayacak olanların en az iki aylık olması gerektiğine göre 100. ayda yavrulayacak olanlar 98. ayda sahip olduğumuz tavşanların hepsi olacak. Demek ki 100. aydaki tav-şan sayısını bulmak için 98. aydaki tavşan sayısıyla 99. aydaki tavşan sayısını toplamak gerekiyor.

Bu hesaba bazı itirazlar yükselebilir. Biz sadece 100. aydaki sayıyı merak ediyorduk. Şimdi onu bulmak için hem 98. hem de 99. aylardaki sayıyı bulmamız gerekecek. Bu hesabı 100. ayda değil de üçüncü aydan itibaren yapalım. Birinci ve ikinci aylarda birer çift tavşanımız vardı. Demek ki üçüncü ay iki çift tavşanımız olacak. İkinci aydaki bir çift ile üçüncü aydaki iki çifti toplarsak dördüncü ay üç çifti bulacağız.

Buna göre ilk birkaç aydaki tavşan sayısı şu şekilde sıralanır: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

100. ayda kaç çift tavşanı olacak sorusunun cevabı: 354 224 848 179 261 915 075

FİBONACCİ VE ALTIN ORAN VİDEOLARI