Kombinasyon

KOMBİNASYON

n ve r birer doğal sayı ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin her birine n’nin r’li kombinasyonu denir.

ÖRNEK: A = {a, b, c, d} kümesinin üçlü dizilişlerini ve üç elemanlı alt kümelerini yazalım.

Üçlü DizilişlerÜç Elemanlı Alt Kümeler
abc, acb, bac, bca, cab, cba{a, b, c}
abd, adb, bad, bda, dab, dba{a, b, d}
acd, adc, cad, cda, dac, dca{a, c, d}
bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb{b, c, d}

Tablonun sol sütunundaki üçlü dizilişlerin her biri bu kümenin üçlü permütasyonlarıdır ve toplam 24 tanedir. P(4,3) = 24

Tablonun sağ sütunundaki üç elemanlı alt kümelerin her biri bu kümenin üçlü kombinasyonlarıdır ve toplam 4 tanedir. Küme içinde elemanların farklı dizilişi yeni bir küme oluşturmadığı için bir kombinasyonda dizilişin değişmesi yeni bir kombinasyon oluşturmaz.

KOMBİNASYON SAYISI

n elemanlı bir kümenin r’li kombinasyonlarının (r elemanlı alt kümelerinin) sayısı C (n, r) ya da \(\binom{n}{r}\) gösterilir.

C (n,r) = \(\frac{n!}{(n-r)!.r!}\) şeklinde hesaplanır.

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin (2’li kombinasyonlarının) sayısını bulalım.

C (6, 2) = \(\frac{6!}{(6-2)!.2!}\) = \(\frac{6!}{4!.2!}\) = \(\frac{720}{48}\) = 15

ÖRNEK: 15 kişilik bir sınıftan proje yarışmasına katılmaları için 2 öğrenci seçilecektir. Bu seçimin kaç farklı şekilde yapılabileceğini bulalım.

15 kişiden 2 kişi \(\binom{15}{2}\) farklı biçimde seçilebilir.

\(\binom{15}{2}\) = \(\frac{15!}{(15-2)!.2!}\) = \(\frac{15!}{13!.2!}\) = \(\frac{15.14.13!}{13!.2!}\) = 105 farklı seçim yapılabilir.

ÖRNEK: \(\binom{5}{2}\) + \(\binom{5}{3}\) + \(\binom{6}{6}\) + \(\binom{7}{0}\) işleminin sonucunu bulalım.

\(\binom{5}{2}\) = \(\frac{5!}{(5-2)!.2!}\) = \(\frac{5!}{3!.2!}\) = \(\frac{120}{12}\) = 10 olur.

\(\binom{5}{3}\) = \(\frac{5!}{(5-3)!.3!}\) = \(\frac{5!}{2!.3!}\) = \(\frac{120}{12}\) = 10 olur.

\(\binom{6}{6}\) = \(\frac{6!}{(6-6)!.6!}\) = \(\frac{6!}{0!.6!}\) = \(\frac{720}{720}\) = 1 olur.

\(\binom{7}{0}\) = \(\frac{7!}{(7-0)!.0!}\) = \(\frac{7!}{7!.0!}\) = \(\frac{5040}{5040}\) = 1 olur.

\(\binom{5}{2}\) + \(\binom{5}{3}\) + \(\binom{6}{6}\) + \(\binom{7}{0}\) = 10 + 10 + 1 + 1 = 22 olarak buluruz.

KOMBİNASYONUN ÖZELLİKLERİ

n’nin sıfırlı kombinasyonlarının sayısı

C (n, 0) = \(\frac{n!}{(n-0)!.0!}\) = \(\frac{n!}{n!.0!}\) = 1

ÖRNEK: C (8, 0) = 1

n’nin birli kombinasyonlarının sayısı

C (n, 1) = \(\frac{n!}{(n-1)!.1!}\) = \(\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!.1!}\) = n

ÖRNEK: C (8, 1) = 8

n’nin n’li kombinasyonlarının sayısı

C (n, n) = \(\frac{n!}{(n-n)!.n!}\) = \(\frac{n!}{0!.n!}\) = 1

ÖRNEK: C (8, 8) = 1

Bir kümenin alt küme sayısı

C (n, 0) + C (n, 1) + C (n, 2) + … + C (n, n) = 2n

ÖRNEK: 4 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 24 = 16’dır. Alt küme sayısını bu kümenin 0, 1, 2, 3, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulup toplayarak da elde edebiliriz.

\(\binom{4}{0}\) + \(\binom{4}{1}\) + \(\binom{4}{2}\) + \(\binom{4}{3}\) + \(\binom{4}{4}\) = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

C (n, r) = C(n, n − r) eşitliği

\(\binom{n}{r}\) = \(\binom{n}{n-r}\)

ÖRNEK: 10 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı ile 7 elemanlı alt kümelerinin sayısı birbirine eşittir.

C (10, 3) = C (10, 7)

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: A = { k, a, l, e, m } kümesinin en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım.

A kümesi 5 elemanlıdır. Bu kümenin 3, 4 ve 5 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulup toplayacağız.

C (5, 3) + C (5, 4) + C (5, 5) = 10 + 5 + 1 = 16

ÖRNEK 2: 10 erkek 12 kız arasından 3 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir bulalım.

Herhangi bir şart bulunmadığı için 22 kişi arasından 3 kişi seçeceğiz.

\(\binom{22}{3}\) = \(\frac{22!}{(22-3)!.3!}\) = \(\frac{22!}{19!.3!}\) = \(\frac{22.21.20.19!}{19!.3!}\) = 1540 farklı seçim yapılabilir.

ÖRNEK 3: 5 erkek 7 kız arasından 2 kız 2 erkek kaç farklı şekilde seçilebilir bulalım.

5 erkek arasından 2 kişi, 7 kız arasından 2 kişi seçeceğiz.

Cevabı \(\binom{5}{2}\) . \(\binom{7}{2}\) = 10.21 = 210 olarak buluruz.

ÖRNEK 4: A = { S, E, L, A, M } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin;

4A) Kaç tanesinde S elemanı vardır bulalım.

Alt kümenin üç elemanından birinin “S” olmasını istediğimiz için “S”yi eleman olarak alırız, diğer iki elemanı {E, L, A, M} arasından seçeriz.

Cevabı C (4, 2) = 6 olarak buluruz.

4B) Kaç tanesinde M elemanı yoktur bulalım.

“M”yi eleman olarak istemediğimiz için kümeden çıkartırız ve üç elemanı da {S, E, L, A} arasından seçeriz.

Cevabı C (4, 3) = 4 olarak buluruz.

4C) Kaç tanesinde E elemanı vardır ancak A elemanı yoktur bulalım.

“A”yı eleman olarak istemediğimiz için kümeden çıkartırız, “E”yi bir eleman olarak alırız. Diğer iki elemanı da {S, L, M} arasından seçeriz.

Cevabı C (3, 2) = 3 olarak buluruz.

4D) Kaç tanesinde S ve E elemanı vardır bulalım.

Alt kümenin üç elemanından ikisinin “S” ve “E” olmasını istediğimiz için “S”yi ve “E”yi eleman olarak alırız, diğer bir elemanı {L, A, M} arasından seçeriz.

Cevabı C (3, 1) = 3 olarak buluruz.

4E) Kaç tanesinde S veya E elemanı vardır bulalım.

Alt kümenin içinde “S” veya “E” olmasını istediğimiz için tüm üç elemanlı alt küme sayısında “S” ve “E”nin ikisinin de bulunmadığı üç elemanlı alt küme sayısını çıkartırız. Böylelikle geriye kalan alt kümelerde mutlaka “S” veya “E” bulunur.

Cevabı C (5, 3) − C (3, 3) = 10 − 1 = 9 olarak buluruz.

ÖRNEK 5: Aşağıdaki çember üzerinde 5 farklı noktada gösterilmiştir. Buna göre soruları cevaplayalım.

Kombinasyon

5A) Bu beş noktanın herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir?

Çizeceğimiz doğrunun bu 5 noktadan herhangi 2 tanesinden geçmesi istendiği için bu 5 noktadan 2 tanesini seçeriz.

Cevabı C (5, 2) = 10 olarak buluruz.

5B) Köşe noktaları bu beş noktanın herhangi üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

Köşeleri bu noktalardan olan üçgen çizebilmek için bu 5 noktadan 3 tanesini seçeriz.

Cevabı C (5, 3) = 10 olarak buluruz.

ÖRNEK 6: Aşağıdaki d1 doğrusu üzerinde 4 nokta, d2 doğrusu üzerinde 6 nokta verilmiştir. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen çizilebileceğini bulalım.

Üçgenin oluşabilmesi için üç köşenin de aynı doğru üzerinden seçilmemesi gerekir. Bu durumda 2 farklı durum oluşur.

Üçgenin 1 köşesinin d1 üzerinde, 2 köşesinin d2 üzerinde olması durumunda \(\binom{4}{1}\) . \(\binom{6}{2}\) = 4 . 15 = 60 üçgen çizilebilir.

Üçgenin 2 köşesinin d1 üzerinde, 1 köşesinin d2 üzerinde olması durumunda \(\binom{4}{2}\) . \(\binom{6}{1}\) = 6 . 6 = 36 üçgen çizilebilir.

Toplam 60 + 36 = 96 üçgen çizilebilir.

ÖRNEK 7: 7 kişilik bir grupta herkes birbiriyle birer kez tokalaşırsa toplam kaç tokalaşma yapılır bulalım.

Toklaşma yapmak için 7 kişi arasından 2 kişi seçmemiz gerekir.

Cevabı C (7, 2) = 21 olarak buluruz.

ÖNCEKİ KONU

SONRAKİ KONU

Bunları da beğenebilirsin
Yorumlar