Özdeşlikler ve Özdeşlik Modelleri
- BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
- √ Özdeşlik Nedir?
- √ Özdeşlik ile Denklem Arasındaki Fark Nedir?
- √ Önemli Özdeşlikler
- √ Özdeşlik Modelleri
ÖZDEŞLİK NEDİR?
ÖZDEŞLİK Mİ DENKLEM Mİ?
Özdeşlik mi denklem mi demek aslında kafaları karıştıran bir ifade çünkü özdeşlikler de aynı zamanda denklemdir. “Özdeşlik mi? Özdeşlik değil mi?” sorusu daha uygun bir soru olabilir. Özdeşlik ile denklem arasındaki fark; özdeşlikte değişkene verilen her gerçek sayı değerinde eşitlik sağlanır, denklemde ise bazı gerçek sayı değerlerinde eşitlik sağlanır.(Buradaki denklemden kasıt özdeşlik olmayan denklemdir.)
ÖRNEK: 2.(x − 2) = 2x − 4 ve 2.(x − 2) = 4 eşitliklerinde x yerine farklı değerler vererek eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.
x yerine her iki eşitlikte de 1 yazalım
2.(1 − 2) = 2.1 − 4
−2 = −2
2.(1 − 2) = 4
−2 ≠ 4
x yerine her iki eşitlikte de 2 yazalım
2.(2 − 2) = 2.2 − 4
0 = 0
2.(2 − 2) = 4
0 ≠ 4
x yerine her iki eşitlikte de 4 yazalım
2.(4 − 2) = 2.4 − 4
4 = 4
2.(4 − 2) = 4
4 = 4
Görüldüğü gibi soldaki eşitlik x yerine yazdığımız üç değer için de sağlandı. Sağdaki eşitlik ise x yerine sadece 4 yazdığımızda sağlandı. Bu yüzden: 2.(x − 2) = 2x − 4 bir özdeşlikti, 2.(x − 2) = 4 özdeşlik değildir.
# Bir eşitliğin özdeşlik olup olmadığını anlamak için farklı değerler verip eşitliğin sağlanıp sağlanmadığına bakılabilir. Eğer verilen tüm değerler için sağlamıyorsa özdeşlik değildir.
# Bir eşitliğin özdeşlik mi denklem mi olduğunun ikinci yolu ise denklemi çözmektir. Eğer denklemi çözdükten sonra 0=0 çıkıyorsa bu denklem bir özdeşliktir.
ÖRNEK: 3x − 5 = x + 3 ve 2x + 2 = 2 + 2x eşitliklerinden özdeşlik olanlarını belirleyelim.
Önce ilk denklemi çözelim.
3x − 5 = x + 3
3x − x = 3 + 5
2x = 8
x = 4
İlk eşitlik özdeşlik değildir. (Sadece x=4 için eşitlik sağlanır.)
Şimdi ikinci denklemi çözelim.
2x + 2 = 2 + 2x
2x − 2x = 2 − 2
0 = 0
İkinci eşitlik bir özdeşliktir. (x’in her değeri için eşitlik sağlanır.)
ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER
TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ – İKİ TERİMİN TOPLAMININ KARESİ
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
ÖRNEK: Bu özdeşliği şu şekilde kullanabiliriz. 102’nin karesini bu özdeşlik sayesinde şu şekilde bulabiliriz.
(100 + 2)2 = 1002 + 2.100.2 + 22
(100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4
(100 + 2)2 = 10404
TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ – İKİ TERİMİN TOPLAMININ KARESİNİ MODELLEME
Birinci şekildeki karenin alanı, parçaların alanları toplamına eşittir.
TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ – İKİ TERİMİN FARKININ KARESİ
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
ÖRNEK: Bu özdeşliği şu şekilde kullanabiliriz. 97’nin karesini bu özdeşlik sayesinde şu şekilde bulabiliriz.
(100 − 3)2 = 1002 − 2.100.3 + 32
(100 − 3)2 = 10000 − 600 + 9
(100 − 3)2 = 9409
TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ – İKİ TERİMİN FARKININ KARESİNİ MODELLEME
Birinci şekildeki yeşil karenin alanı, büyük karenin alanından beyaz bölgelerin alanlarının çıkarılmasına eşittir.
İKİ KARE FARKI ÖZDEŞLİĞİ
a2 − b2 = (a − b) . (a + b)
ÖRNEK: Bu özdeşliği şu şekilde kullanabiliriz. 75’in karesi ile 25’in karesinin farkını bu özdeşlik sayesinde şu şekilde bulabiliriz.
752 − 252 = (75 − 25) . (75 + 25)
752 − 252 = 50 . 100
752 − 252 = 5000
İKİ KARE FARKI MODELLEME
Birinci şekildeki büyük kareyle küçük karenin alanları farkı (sarı bölge), ikinci şekildeki sarı bölgeye eşittir.
BİR KAÇ ÖNEMLİ ÖZDEŞLİK
- İKİ KARE FARKI
a2 − b2 = (a − b) . (a + b)
- İKİ KARE TOPLAMI
a2 + b2 = (a − b)2 + 2ab
a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
- TAM KARE İFADELER
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)2 = (a − b)2 + 4ab
(a − b)2 = (a + b)2 − 4ab
- İKİ KÜP FARKI
a3 − b3 = (a − b) . (a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b) . (a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)3 + 3ab . (a − b)
a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab . (a + b)
- KÜP AÇILIMI
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:
- √ Özdeşlikleri modellerle açıklar.