Açık Önerme, Her (∀) ve Bazı (∃) Niceleyicileri

AÇIK ÖNERME

İçinde en az bir değişken bulunan ve değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere açık önerme denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri inceleyip açık önerme olanı belirleyelim.

p : “Çift olan asal sayı yalnız 2’dir.”

q : “ x tam sayısının 2 fazlası 5’tir. ”

p önermesinde değişken bulunmazken q önermesinde x değişkeni bulunmaktadır. q önermesi x in bazı değerleri için sağlanırken bazı değeri için sağlanmaz. q önermesi açık önermedir.

İçerisinde x gibi tek değişken bulunduran bir açık önerme p(x), q(x), … ile x ve y gibi iki değişken bulunduran bir açık önerme ise p(x, y), q(x, y), … biçiminde gösterilir. Bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine, o açık önermenin doğruluk kümesi denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki açık önermelerin doğruluk kümelerini bulalım.

► p(x): “x bir tam sayı, x² = 25”

x² = 25 denklemini sağlayan x değerleri 5 ve −5’tir.

D = { 5, −5 } olur.

► q(x): “x bir doğal sayı, −2 ≤ x < 4”

Eşitsizliği sağlayan doğal sayılar 0, 1, 2, 3’tür.

D = { 0, 1, 2, 3 } olur.

► r(x, y): “x ve y doğal sayı, x + y = 2”

x + y = 2 eşitliğini sağlayan doğal sayı ikileri (0, 2), (1, 1), (2, 0) ‘dır.

D = { (0, 2), (1, 1), (2, 0) } olur.

NİCELEYİCİLER

Günlük hayatta “her, hepsi, bazı, en az bir, hiçbiri” gibi sözcükleri kullanırız.

“Her Türk asker doğar.”
“Bazı günler okula gitmedi.”

Matematik ve mantıkta da bu niceleyiciler kullanılır ve sembolle gösterilirler.

Her (∀) Niceleyicisi

“Her” sözcüğü bütün, hepsi, tamamı anlamına gelir. Her sözcüğü “∀” sembolü ile gösterilir ve bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir.

Bazı (∃) Niceleyicisi

“Bazı” sözcüğü ile “en az bir” sözcüğü aynı anlama gelmektedir. Bazı sözcüğü “∃” sembolü ile
gösterilir ve bu niceleyiciye varlıksal niceleyici denir.

ÇEVİRMELER

Sembolik Mantık Diline Çevirme

Sözel olarak verilen ve niceleyici içeren açık önermeleri sembolik mantık diliyle ifade edebiliriz.

ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri sembolik mantık diliyle ifade edelim ve doğruluk değerini bulalım.

► “Her tam sayı kendisinin karesinden küçüktür.”

p(x): “∀x tam sayısı için, x < x²” şeklinde ifade edilir. Her niceleyicisi kullanıldığı için bu kurala uymayan herhangi bir tam sayının bulunması bu önermeyi yanlış yapar. 0 ve 1 sayıları karelerinden küçük değildir, karelerine eşittir. Bu yüzden p ≡ 0 olur.

► “Bazı doğal sayıların 2 katı 10’dan büyüktür.”

q(x): “∃x doğal sayısı için, 2x > 10” şeklinde ifade edilir. Bazı niceleyicisi kullanıldığı için bu kurala uyan en az bir doğal sayının bulunması bu önermeyi doğru yapar. 7 sayısının 2 katı 10’dan büyük olduğu için önerme doğrudur ve q ≡ 1 şeklinde gösterilir.

Sözel Olarak İfade Etme

Sembolik mantık diliyle verilen önermeleri sözel olarak ifade edebiliriz.

ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri sözel ifade edelim ve doğruluk değerini bulalım.

► r(x): “∀x pozitif tam sayısı için, x³ > 0″

Bu önerme “Her pozitif tam sayının küpü 0’dan büyüktür.” şeklinde sözel olarak ifade edilir. Her pozitif tam sayının küpü pozitif olduğu için önermenin doğruluk değeri r ≡ 1 olur.

► s(x): “∃x doğal sayısı için, x + 5 = 0”

Bu önerme “Bazı doğal sayıların 5 fazlası 0’dır.” şeklinde ifade edilir. Bu önermeyi doğru yapacak değer olmadığı için s ≡ 0 şeklinde gösterilir.

ÖNCEKİ KONU	SONRAKİ KONU
Bileşik Önerme	Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat Kavramları