Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat Kavramları

BU KONUDA NELER VAR?

1. TANIM NEDİR?
2. AKSİYOM NEDİR?
3. TEOREM NEDİR?
4. Hipotez ve Hüküm
5. İSPAT NEDİR?

Bilim dallarının günlük konuşma dilinden farklı, kendine özgü anlamlar içeren sözcük veya sözcük grupları vardır. Özel anlam içeren bu sözcüklere terim denir. Matematikte bir kavram ve özellik ifade edilirken belli terimler kullanılır. Bu terimler tanımlı ve tanımsız terimler olarak iki grupta toplanır.

Tanımsız terimler başka bir terim ya da tanıma ihtiyaç duyulmadan anlaşılabilen terimlerdir (Örneğin nokta, doğru, düzlem). Tanımlı terimler ise tanımsız terimler veya kendisinden önce tanımlanan terimler kullanılarak tanımlanmaya ihtiyaç duyulan terimlerdir.

TANIM NEDİR?

Bir terimi, tanımlı veya tanımsız terimler kullanarak açıklamaya tanım denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki terimlerin tanımlarını inceleyelim.

► RAKAM: “Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere denir.”

Rakamın tanımı yapılırken sayı ve sembol terimleri kullanılmıştır.

► DENKLEM: “İçinde değişken bulunan ve değişkene verilen bazı değerler için sağlanan eşitliktir.”

Denklemin tanımı yapılırken değişken ve eşitlik terimleri kullanılmıştır.

AKSİYOM NEDİR?

İspata gerek duyulmaksızın doğruluğu kabul edilen önermelere aksiyom denir.

ÖRNEK: Aşağıda önermeler birer aksiyom örneğidir.

► “Farklı iki noktadan yalnızca bir doğru geçer.”

► “Bir doğal sayının ardışığı da doğal sayıdır.”

TEOREM NEDİR?

Doğruluğu ispatlanmadan kabul görmeyen önermelere teorem denir.

ÖRNEK: Aşağıda önermeler birer teorem örneğidir.

► “Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.”

► “Her tek sayının karesi de tek sayıdır.”

Hipotez ve Hüküm

Bir teoremin verilen kısmına hipotez (varsayım), ispatlanacak olan kısmına hüküm (yargı) denir.

p önermesi doğru iken p ⇒ q koşullu önermesi doğru ise p ⇒ q önermesi bir teoremdir.

p ⇒ q teoreminde;

p: Teoremin hipotezi (varsayım),

q: Teoremin hükmü (yargı) dür.

Hipotez ve hükmü bulmak için teoremleri koşullu önerme olarak ifade etmeliyiz.

ÖRNEK: Aşağıda teoremlerin hipotezini ve hükmünü bulalım.

► “Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° dir.”

Teorem: ABC üçgen ise iç açılarının ölçüleri toplamı 180° dir.

Hipotez: “ABC üçgendir.”

Hüküm: “ABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° dir.””

► “Her çift sayının karesi de çift sayıdır.”

Teorem: a çift sayı ise a² çift sayıdır.

Hipotez: a çift sayıdır.

Hüküm: a² çift sayıdır.

İSPAT NEDİR?

Bir teoremin hipotezi doğru iken hükmünün de doğru olduğunu göstermek için yapılan işlemler bütününe teoremin ispatlanması denir.

Teoremlerin ispatlanması için doğrudan ispat, çelişki yöntemi ile ispat, aksine örnek verme yöntemi ile ispat, karşıt ters yöntemi ile ispat, tümevarım gibi çeşitli ispat yöntemleri vardır.