Bileşik Önerme
- 1. BİLEŞİK ÖNERME NEDİR?
- 2. “VE” BAĞLACI ( ∧ )
- 3. “VE” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
- 4. “VEYA” BAĞLACI ( ∨ )
- 5. “VEYA” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
- 6. “YA DA” BAĞLACI ( ⊻ )
- 7. “YA DA” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
- 8. DE MORGAN KURALLARI
- 9. “İSE” BAĞLACI ( ⇒ )
- 10. “ANCAK VE ANCAK” BAĞLACI ( ⇔ )
- 11. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR
BİLEŞİK ÖNERME NEDİR?
Dilimizde kullandığımız bağlaçlardan bazıları mantıkta da kullanılmaktadır. Önermeleri bu bağlaçlar ile birleştirerek birleşik önerme elde ederiz.
“VE” BAĞLACI ( ∧ )
p ∧ q önermesi, önermelerin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır. Ve bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “ve” bağlacı ile birleştirelim.
p: “2 asal sayıdır.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)
q: “2 tek sayıdır.” önermesi yanlıştır. (q ≡ 0)
p ∧ q: “2 asal sayıdır ve tek sayıdır.” önermesi yanlıştır. (p ∧ q ≡ 0)
ÖNEMLİ NOTLAR
- p ∧ p’ ≡ 0
- p ∧ 0 ≡ 0
- p ∧ 1 ≡ p
“VE” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
Tek Kuvvet Özelliği
Her p önermesi için p ∧ p ≡ p olur.
Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan p ∧ p ≡ p denkliğini görebilirsiniz.
| p | p | p ∧ p |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Değişme Özelliği
Her p ve q önermeleri için p ∧ q ≡ q ∧ p olur.
Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan p ∧ q ≡ q ∧ p denkliğini görebilirsiniz.
| p | q | p ∧ q | q ∧ p |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Birleşme Özelliği
Her p, q, r önermesi için (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) olur.
Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) denkliğini görebilirsiniz.
| p | q | r | p∧q | q∧r | (p∧q)∧r | p∧(q∧r) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dağılma Özelliği
Her p, q ve r önermeleri için “ve” bağlacının “veya” üzerine dağılma özelliği aşağıdaki gibidir.
► “ve” bağlacının “veya” bağlacı üzerine soldan dağılma özelliği
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
► “ve” bağlacının “veya” bağlacı üzerine sağdan dağılma özelliği
(q ∨ r) ∧ p ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
“VEYA” BAĞLACI ( ∨ )
p ∨ q önermesi, önermelerin her ikisi de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. Veya bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “veya” bağlacı ile birleştirelim.
p: “İstanbul bir ildir.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)
q: “İstanbul başkenttir.” önermesi yanlıştır. (q ≡ 0)
p ∨ q: “İstanbul bir ildir veya başkenttir.” önermesi doğrudur. (p ∨ q ≡ 1)
ÖNEMLİ NOTLAR
- p ∨ p’ ≡ 1
- p ∨ 0 ≡ p
- p ∨ 1 ≡ 1
“VEYA” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
Tek Kuvvet Özelliği
Her p önermesi için p ∨ p ≡ p olur.
Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan p ∨ p ≡ p denkliğini görebilirsiniz.
| p | p | p ∨ p |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Değişme Özelliği
Her p ve q önermeleri için p ∨ q ≡ q ∨ p olur.
Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan p ∨ q ≡ q ∨ p denkliğini görebilirsiniz.
| p | q | p ∨ q | q ∨ p |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Birleşme Özelliği
Her p, q, r önermesi için (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) olur.
Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) denkliğini görebilirsiniz.
| p | q | r | p∨q | q∨r | (p∨q)∨r | p∨(q∨r) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dağılma Özelliği
Her p, q ve r önermeleri için “veya” bağlacının “ve” üzerine dağılma özelliği aşağıdaki gibidir.
► “veya” bağlacının “ve” bağlacı üzerine soldan dağılma özelliği
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
► “veya” bağlacının “ve” bağlacı üzerine sağdan dağılma özelliği
(q ∧ r) ∨ p ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
“YA DA” BAĞLACI ( ⊻ )
p ⊻ q önermesi, önermelerin doğruluk değerleri farklı iken doğru, aynı iken yanlıştır. Ya da bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| p | q | p ⊻ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “ya da” bağlacı ile birleştirelim.
p: “5 doğal sayıdır.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)
q: “5 asal sayıdır.” önermesi doğrudur. (q ≡ 1)
p ⊻ q: “5 doğal sayıdır ya da asal sayıdır.” önermesi yanlıştır. (p ⊻ q ≡ 0)
ÖNEMLİ NOTLAR
- p ⊻ p’ ≡ 1
- p ⊻ p ≡ 0
- p ⊻ 1 ≡ p’
- p ⊻ 0 ≡ p
“YA DA” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
Değişme Özelliği
Her p ve q önermeleri için p ⊻ q ≡ q ⊻ p olur.
Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan p ⊻ q ≡ q ⊻ p denkliğini görebilirsiniz.
| p | q | p ⊻ q | q ⊻ p |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Birleşme Özelliği
Her p, q, r önermesi için (p ⊻ q) ⊻ r ≡ p ⊻ (q ⊻ r) olur.
Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan (p ⊻ q) ⊻ r ≡ p ⊻ (q ⊻ r) denkliğini görebilirsiniz.
| p | q | r | p⊻q | q⊻r | (p⊻q)⊻r | p⊻(q⊻r) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
DE MORGAN KURALLARI
p ve q nun değili → (p ∧ q)’ ≡ p’ ∨ q’
p veya q nun değili → (p ∨ q)’ ≡ p’ ∧ q’
şeklinde verilen kurallara De Morgan Kuralları denir.
“İSE” BAĞLACI ( ⇒ )
p ⇒ q önermesi p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. İse bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| p | q | p ⇒ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
ÖRNEK: Sınıf başkanlığı seçiminde Pelin “Başkan seçilirsem sınıf temiz olur.” demiş olsun. Bu cümlede sınıfın temiz olma koşulu başkan seçilmek olduğu için bu önerme koşullu önermedir.
p: “Pelin başkan seçilir.”
q: “Sınıf temiz olur.”
p ⇒ q: “Pelin başkan seçilir ise sınıf temiz olur.” önermesi doğrudur.
p ⇒ q önermesi p’ ∨ q önermesine denktir.
ÖRNEK: (p ⇒ q’) ∨ q önermesinin doğruluk değerini bulalım.
≡ (p’ ∨ q’) ∨ q [isenin veya denkliği uygulandı]
≡ p’ ∨ (q’ ∨ q) [birleşme özelliği uygulandı]
≡ p’ ∨ 1
≡ 1
ÖNEMLİ NOTLAR
- p ⇒ p ≡ 1
- p ⇒ 0 ≡ p’
- 0 ⇒ p ≡ 1
- p ⇒ 1 ≡ 1
- 1 ⇒ p ≡ p
Önermenin karşıtı, tersi, karşıt tersi
p ve q önermeleri ile oluşturulan p ⇒ q koşullu önermesine göre;
- p ⇒ q önermesinin karşıtı q ⇒ p ,
- p ⇒ q önermesinin tersi p’ ⇒ q’ ,
- p ⇒ q önermesinin karşıt tersi q’ ⇒ p’ olur.
ÖRNEK: p: “İlker çalışkan bir öğrencidir.” ve q: “İlker başarılı bir öğrencidir.” önermeleriyle p ⇒ q koşullu önermesini, karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazalım.
p ⇒ q: “İlker çalışkan bir öğrenciyse başarılı bir öğrencidir.”
q ⇒ p: “İlker başarılı bir öğrenciyse çalışkan bir öğrencidir.” (KARŞIT)
p’ ⇒ q’: “İlker çalışkan bir öğrenci değilse başarılı bir öğrenci değildir.” (TERS)
q’ ⇒ p’: “İlker başarılı bir öğrenci değilse çalışkan bir öğrenci değildir.” (KARŞIT TERS)
p ⇒ q önermesi karşıt tersi olan q’ ⇒ p’ önermesine denktir.
“ANCAK VE ANCAK” BAĞLACI ( ⇔ )
p ⇔ q önermesi önermeler aynı doğruluk değerine sahipken doğru, diğer durumlarda yanlıştır. Ancak ve ancak bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| p | q | p ⇔ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “ancak ve ancak” bağlacı ile birleştirelim.
p: “24 çift bir sayıdır.” (p ≡ 1)
q: “24 sayısı 2’ye tam bölünür.” (q ≡ 1)
p ⇔ q: “24 sayısı çift bir sayıdır ancak ve ancak 2’ye tam bölünür. (p ⇔ q ≡ 1)
ÖNEMLİ NOTLAR
- p ⇔ p ≡ 1
- p ⇔ p’ ≡ 0
- p ⇔ 1 ≡ p
- p ⇔ 0 ≡ p’
- p ⇔ q ≡ q ⇔ p
- p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR
Aşağıdaki soruları çözebilmek için ve, veya, ya da bağlaçlarının özelliklerini, önemli notlar kısımlarındaki denklikleri ve de morgan kuralını bilmeniz gerekmektedir.
ÖRNEK 1: (0′ ∧ p) ∧ (s ∧ s’) önermesinin doğruluk değerini bulalım.
≡ (1 ∧ p) ∧ (s ∧ s’)
≡ (1 ∧ p) ∧ 0
≡ p ∧ 0
≡ 0
ÖRNEK 2: (p ∨ q’) ∨ (p’ ∨ q) önermesinin doğruluk değerini bulalım.
≡ (p ∨ p’) ∨ (q’ ∨ q) [değişme ve birleşme özelliği uygulandı]
≡1 ∨ 1
≡ 1
ÖRNEK 3: (p ∧ q’) ∨ p’ önermesinin en sade halini bulalım.
≡ (p ∨ p’) ∧ (q’ ∨ p’) [sağdan dağılma özelliği uygulandı]
≡ 1 ∧ (q’ ∨ p’)
≡ q’ ∨ p’
ÖRNEK 4: (p’ ∧ q)’ ∨ q önermesinin doğruluk değerini bulalım.
≡ (p ∨ q’) ∨ q [de morgan uygulandı]
≡ p ∨ (q’ ∨ q) [birleşme özelliği uygulandı]
≡ p ∨ 1
≡ 1
ÖRNEK 5: (1 ⊻ q’) ∨ (1 ⊻ 1) önermesinin en sade halini bulalım.
≡ (1 ⊻ q’) ∨ 0
≡ q ∨ 0
≡ q
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Önermeler | Açık Önerme ve Niceleyiciler |