Bileşik Önerme

BİLEŞİK ÖNERME NEDİR?

İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak bağlaçları ile birleştirilmesiyle elde edilen yeni önermelere bileşik önerme denir.

Dilimizde kullandığımız bağlaçlardan bazıları mantıkta da kullanılmaktadır. Önermeleri bu bağlaçlar ile birleştirerek birleşik önerme elde ederiz.

“VE” BAĞLACI ( ∧ )

p ile q önermelerinin “ve” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ve q önermesi denir ve p ∧ q biçiminde gösterilir.

p ∧ q önermesi, önermelerin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır. Ve bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

p ∧ q Doğruluk Tablosu
pqp ∧ q
111
100
010
000

ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “ve” bağlacı ile birleştirelim.

p: “2 asal sayıdır.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)

q: “2 tek sayıdır.” önermesi yanlıştır. (q ≡ 0)

p ∧ q: “2 asal sayıdır ve tek sayıdır.” önermesi yanlıştır. (p ∧ q ≡ 0)

ÖNEMLİ NOTLAR

  • p ∧ p’ ≡ 0
  • p ∧ 0 ≡ 0
  • p ∧ 1 ≡ 1

“VE” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ

Tek Kuvvet Özelliği

Her p önermesi için p ∧ p ≡ p olur.

Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan p ∧ p ≡ p denkliğini görebilirsiniz.

“ve” Bağlacı Tek Kuvvet Özelliği
ppp ∧ p
111
000

Değişme Özelliği

Her p ve q önermeleri için p ∧ q ≡ q ∧ p olur.

Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan p ∧ q ≡ q ∧ p denkliğini görebilirsiniz.

“ve” Bağlacı Değişme Özelliği
pqp ∧ qq ∧ p
1111
1000
0100
0000

Birleşme Özelliği

Her p, q, r önermesi için (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) olur.

Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) denkliğini görebilirsiniz.

“ve” Bağlacı Birleşme Özelliği
pqrp∧qq∧r(p∧q)∧rp∧(q∧r)
1111111
1101000
1010000
1000000
0110100
0100000
0010000
0000000

Dağılma Özelliği

Her p, q ve r önermeleri için “ve” bağlacının “veya” üzerine dağılma özelliği aşağıdaki gibidir.

► “ve” bağlacının “veya” bağlacı üzerine soldan dağılma özelliği

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

► “ve” bağlacının “veya” bağlacı üzerine sağdan dağılma özelliği

(q ∨ r) ∧ p ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

“VEYA” BAĞLACI ( ∨ )

p ile q önermelerinin “veya” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p veya q önermesi denir ve p ∨ q biçiminde gösterilir.

p ∨ q önermesi, önermelerin her ikisi de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. Veya bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

p ∨ q Doğruluk Tablosu
pqp ∨ q
111
101
011
000

ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “veya” bağlacı ile birleştirelim.

p: “İstanbul bir ildir.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)

q: “İstanbul başkenttir.” önermesi yanlıştır. (q ≡ 0)

p ∨ q: “İstanbul bir ildir veya başkenttir.” önermesi doğrudur. (p ∨ q ≡ 1)

ÖNEMLİ NOTLAR

  • p ∨ p’ ≡ 1
  • p ∨ 0 ≡ p
  • p ∨ 1 ≡ 1

“VEYA” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ

Tek Kuvvet Özelliği

Her p önermesi için p ∨ p ≡ p olur.

Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan p ∨ p ≡ p denkliğini görebilirsiniz.

“veya” Bağlacı Tek Kuvvet Özelliği
ppp ∨ p
111
000

Değişme Özelliği

Her p ve q önermeleri için p ∨ q ≡ q ∨ p olur.

Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan p ∨ q ≡ q ∨ p denkliğini görebilirsiniz.

“veya” Bağlacı Değişme Özelliği
pqp ∨ qq ∨ p
1111
1011
0111
0000

Birleşme Özelliği

Her p, q, r önermesi için (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) olur.

Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) denkliğini görebilirsiniz.

“veya” Bağlacı Birleşme Özelliği
pqrp∨qq∨r(p∨q)∨rp∨(q∨r)
1111111
1101111
1011111
1001011
0111111
0101111
0010111
0000000

Dağılma Özelliği

Her p, q ve r önermeleri için “veya” bağlacının “ve” üzerine dağılma özelliği aşağıdaki gibidir.

► “veya” bağlacının “ve” bağlacı üzerine soldan dağılma özelliği

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

► “veya” bağlacının “ve” bağlacı üzerine sağdan dağılma özelliği

(q ∧ r) ∨ p ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

“YA DA” BAĞLACI ( ⊻ )

p ile q önermelerinin “ya da” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ya da q önermesi denir ve p ⊻ q biçiminde gösterilir.

p ⊻ q önermesi, önermelerin doğruluk değerleri farklı iken doğru, aynı iken yanlıştır. Ya da bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

p ⊻ q Doğruluk Tablosu
pqp ⊻ q
110
101
011
000

ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “ya da” bağlacı ile birleştirelim.

p: “5 doğal sayıdır.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)

q: “5 asal sayıdır.” önermesi doğrudur. (q ≡ 1)

p ⊻ q: “5 doğal sayıdır ya da asal sayıdır.” önermesi yanlıştır. (p ⊻ q ≡ 0)

ÖNEMLİ NOTLAR

  • p ⊻ p’ ≡ 1
  • p ⊻ p ≡ 0
  • p ⊻ 1 ≡ p’
  • p ⊻ 0 ≡ p

“YA DA” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ

Değişme Özelliği

Her p ve q önermeleri için p ⊻ q ≡ q ⊻ p olur.

Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan p ⊻ q ≡ q ⊻ p denkliğini görebilirsiniz.

“ya da” Bağlacı Değişme Özelliği
pqp ⊻ qq ⊻ p
1100
1011
0111
0000

Birleşme Özelliği

Her p, q, r önermesi için (p ⊻ q) ⊻ r ≡ p ⊻ (q ⊻ r) olur.

Aşağıdaki tabloda gri sütunlardan (p ⊻ q) ⊻ r ≡ p ⊻ (q ⊻ r) denkliğini görebilirsiniz.

“ya da” Bağlacı Birleşme Özelliği
pqrp⊻qq⊻r(p⊻q)⊻rp⊻(q⊻r)
1110011
1100100
1011100
1001011
0111000
0101111
0010111
0000000

DE MORGAN KURALLARI

p ve q nun değili     → (p ∧ q)’ ≡ p’ ∨ q’

p veya q nun değili → (p ∨ q)’ ≡ p’ ∧ q’

şeklinde verilen kurallara De Morgan Kuralları denir.

“İSE” BAĞLACI ( ⇒ )

p ile q önermelerinin “ise” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye koşullu önerme denir ve p ⇒ q (p ise q) biçiminde gösterilir.

p ⇒ q önermesi p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. İse bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

p ⇒ q Doğruluk Tablosu
pqp ⇒ q
111
100
011
001

ÖRNEK: Sınıf başkanlığı seçiminde Pelin “Başkan seçilirsem sınıf temiz olur.” demiş olsun. Bu cümlede sınıfın temiz olma koşulu başkan seçilmek olduğu için bu önerme koşullu önermedir.

p: “Pelin başkan seçilir.”

q: “Sınıf temiz olur.”

p ⇒ q: “Pelin başkan seçilir ise sınıf temiz olur.” önermesi doğrudur.

p ⇒ q önermesi p’ ∨ q önermesine denktir.

ÖRNEK: (p ⇒ q’) ∨ q önermesinin doğruluk değerini bulalım.

≡ (p’ ∨ q’) ∨ q [isenin veya denkliği uygulandı]

≡ p’ ∨ (q’ ∨ q) [birleşme özelliği uygulandı]

≡ p’ ∨ 1

≡ 1

ÖNEMLİ NOTLAR

  • p ⇒ p ≡ 1
  • p ⇒ 0 ≡ p’
  • 0 ⇒ p ≡ 1
  • p ⇒ 1 ≡ 1
  • 1 ⇒ p ≡ p

Önermenin karşıtı, tersi, karşıt tersi

p ve q önermeleri ile oluşturulan p ⇒ q koşullu önermesine göre;

  • p ⇒ q önermesinin karşıtı q ⇒ p ,
  • p ⇒ q önermesinin tersi p’ ⇒ q’ ,
  • p ⇒ q önermesinin karşıt tersi q’ ⇒ p’ olur.

ÖRNEK: p: “İlker çalışkan bir öğrencidir.” ve q: “İlker başarılı bir öğrencidir.” önermeleriyle p ⇒ q koşullu önermesini, karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazalım.

p ⇒ q: “İlker çalışkan bir öğrenciyse başarılı bir öğrencidir.”

q ⇒ p: “İlker başarılı bir öğrenciyse çalışkan bir öğrencidir.” (KARŞIT)

p’ ⇒ q’: “İlker çalışkan bir öğrenci değilse başarılı bir öğrenci değildir.” (TERS)

q’ ⇒ p’: “İlker başarılı bir öğrenci değilse çalışkan bir öğrenci değildir.” (KARŞIT TERS)

p ⇒ q önermesi karşıt tersi olan q’ ⇒ p’ önermesine denktir.

“ANCAK VE ANCAK” BAĞLACI ( ⇔ )

p ile q önermelerinin “ancak ve ancak” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve p ⇔ q (p ancak ve ancak q) biçiminde gösterilir.

p ⇔ q önermesi önermeler aynı doğruluk değerine sahipken doğru, diğer durumlarda yanlıştır. Ancak ve ancak bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

p ⇔ q Doğruluk Tablosu
pqp ⇔ q
111
100
010
001

ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “ancak ve ancak” bağlacı ile birleştirelim.

p: “24 çift bir sayıdır.” (p ≡ 1)

q: “24 sayısı 2’ye tam bölünür.” (q ≡ 1)

p ⇔ q: “24 sayısı çift bir sayıdır ancak ve ancak 2’ye tam bölünür. (p ⇔ q ≡ 1)

ÖNEMLİ NOTLAR

  • p ⇔ p ≡ 1
  • p ⇔ p’ ≡ 0
  • p ⇔ 1 ≡ p
  • p ⇔ 0 ≡ p’
  • p ⇔ q ≡ q ⇔ p
  • p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

Aşağıdaki soruları çözebilmek için ve, veya, ya da bağlaçlarının özelliklerini, önemli notlar kısımlarındaki denklikleri ve de morgan kuralını bilmeniz gerekmektedir.

ÖRNEK 1: (0′ ∧ p) ∧ (s ∧ s’) önermesinin doğruluk değerini bulalım.

≡ (1 ∧ p) ∧ (s ∧ s’)

≡ (1 ∧ p) ∧ 0

≡ p ∧ 0

≡ 0

ÖRNEK 2: (p ∨ q’) ∨ (p’ ∨ q) önermesinin doğruluk değerini bulalım.

≡ (p ∨ p’) ∨ (q’ ∨ q) [değişme ve birleşme özelliği uygulandı]

≡1 ∨ 1

≡ 1

ÖRNEK 3: (p ∧ q’) ∨ p’ önermesinin en sade halini bulalım.

≡ (p ∨ p’) ∧ (q’ ∨ p’) [sağdan dağılma özelliği uygulandı]

≡ 1 ∧ (q’ ∨ p’)

≡ q’ ∨ p’

ÖRNEK 4: (p’ ∧ q)’ ∨ q önermesinin doğruluk değerini bulalım.

≡ (p ∨ q’) ∨ q [de morgan uygulandı]

≡ p ∨ (q’ ∨ q) [birleşme özelliği uygulandı]

≡ p ∨ 1

≡ 1

ÖRNEK 5: (1 ⊻ q’) ∨ (1 ⊻ 1) önermesinin en sade halini bulalım.

≡ (1 ⊻ q’) ∨ 0

≡ q ∨ 0

≡ q

Bunları da beğenebilirsin