Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

TANIM VE KAVRAMLAR

a,b \(\in\) R ve a \(\neq\) 0 olmak üzere ax + b = 0 şeklinde ifade edilebilen denklemlere x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

Denklemlerin derecesi, değişkenin kuvvetine bağlıdır.

► 6x + 3 = 5 ve \(\frac{2x}{3}\) − 12  = 30 denklemleri birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir.

► x² = 16 ve \(\sqrt{x}\) + 1  = 9 denklemleri birinci dereceden denklem değildir.

Bir denklemde değişkenin (x) denklemi sağlayan değerini bulmaya denklem çözmek denir. Değişkenin (x) denklemi sağlayan değerine denklemin kökü denir. Denklemin köklerinden oluşan kümeye çözüm kümesi adı verilir ve genelde Ç harfi ile gösterilir.

Bu kavramları basit bir örnek üzerinde inceleyelim.

ÖRNEK: x + 2 = 5 denklemini sağlayan tek bir x değeri vardır ve bu değer 3’tür.

Denklem çözme:

x = 5 − 2

x = 3

Denklemin kökü: 3

Çözüm kümesi: Ç = { 3 }

DENKLEMLER NASIL ÇÖZÜLÜR?

Denklem çözerken amacımız değişkeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır. Bunun için değişken içeren terimleri eşitliğin bir tarafında, sabit (değişken içermeyen) terimleri eşitliğin diğer tarafında toplamaktır. Bunu yaparken eşitliğin bozulmaması, korunması gerekmektedir. Aşağıdaki işlemleri yaparsak eşitlik korunmuş olur.

Denklem çözerken:
✓ Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir.
✓ Eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkartılabilir.
✓ Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir.
✓ Eşitliğin her iki tarafı aynı sayıya bölünebilir.

Bu işlemleri daha pratik yapmak için:
✓ ” + ” işaretli terimler eşitliğin diğer tarafına ” − ” işaretli olarak geçer.
✓ ” − ” işaretli terimler eşitliğin diğer tarafına ” + ” işaretli olarak geçer.
✓ Çarpım durumundaki katsayı eşitliğin diğer tarafına bölüm olarak geçer.
✓ Bölüm durumundaki katsayı eşitliğin diğer tarafına çarpım olarak geçer.

ÖRNEK: 3x − 3 = x + 5 denklemini çözelim.

Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, diğer sayıları diğer tarafa toplarız.

3x − x = 5 + 3 (−3 sağa +3 olarak geçer, x sola −x olarak geçer.)

2x = 8 (x’in başındaki 2 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.)

x = \(\frac{8}{2}\)

x = 4

ÖRNEK: 2(3x − 5) = 8 − 3(x + 4) denklemini çözelim.

6x − 10 = 8 − 3x − 12 (Parantez önlerindeki 2 ve −3 parantezlere dağıtılır.)

6x + 3x = 8 − 12 + 10 (−3x sola +3x olarak, −10 sağa +10 olarak geçer.)

9x = 6 (x’in başındaki 9 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.)

x = \(\frac{6}{9}\)

Rasyonel katsayılı denklemleri çözerken kesirlerde yapılan bazı işlemler kullanılır (Payda eşitleme, Genişletme, Sadeleştirme). Ayrıca bazı durumlarda içler dışlar çarpımı da kullanılabilir.

ÖRNEK: \(\frac{x+14}{2x}\) = 4 denklemini çözelim.

\(\frac{x+14}{2x}\) = 4 (İçler-dışlar çarpımı yaparız.)

x + 14 = 8x

14 = 8x − x

14 = 7x

2 = x

ÖRNEK: \(\frac x2+\frac x3=5\) denkleminin kökünü bulalım.

\(\frac{3x}6+\frac{2x}6=5\) (Paydaları eşitleyip toplama işlemini yaparız.)

\(\frac{5x}6=5\) (İçler-dışlar çarpımı yaparız.)

5x = 30

x = 6

ÖRNEK: \(\frac{4x-10}{x-5}=\frac{10}{x-5}-\frac65\) denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\(\frac{4x-10}{x-5}-\frac{10}{x-5}=-\frac65\) (Değişkenli terimleri eşitliğin sol tarafına alırız.)

\(\frac{4x-20}{x-5}=\frac{-6}5\) (İçler-dışlar çarpımı yaparız.)

20x − 100 = −6x + 30

20x + 6x = 30 + 100

26x = 130

x = 5

x’in değerini 5 bulduk ancak bulduğumuz değer denklemi sağlamaz çünkü denklemde x yerine 5 yaptığımızda payda 0 oluyor. Bu nedenle x = 5 değeri için denklemin çözümü olamaz. O zaman bu denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Denklem çözümünde bulunan değer paydayı sıfır yapıyorsa bu değer denklemin kökü olarak kabul edilmez ve çözüm kümesine dahil edilmez.

ÇÖZÜM KÜMESİ – KATSAYI İLİŞKİSİ

ax + b = 0 denkleminin kökleri ve dolayısıyla çözüm kümesi katsayılar (a ve b) ile ilişkilidir.

1)  Denklemin Tek Çözümü (Kökü) Olması

ax + b = 0 denkleminde a \(\neq\) 0 ise denklemi sağlayan yalnız bir x değeri vardır ve bu değer \(-\frac{b}{a}\) dır.
a \(\neq\) 0 ise Ç = {\(-\frac{b}{a}\)}

ÖRNEK: 7x − 4 = 5x + 8 denklemini çözelim.

7x − 5x = 8 + 4

2x = 12

x = 6

Denklemde x yerine 6 yazılırsa eşitlik sağlanır. Ç = {6}

2)  Denklemin Çözümü (Kökü) Olmaması

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b \(\neq\) 0 ise denklemi sağlayan x değeri yoktur ve çözüm kümesi boş kümedir.
a = 0 ve b \(\neq\) 0 ise Ç = \(\varnothing\)

ÖRNEK: 2x − 3 = 2.(x + 1) denklemini çözelim.

2x − 3 = 2x + 2

2x − 2x = 2 + 3

0 = 5

Denklemde x yerine hangi gerçek sayı verilirse verilsin eşitlik sağlanmaz. Ç = \(\varnothing\)

3)  Denklemin Sonsuz Çözümü (Kökü) Olması

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b = 0 ise tüm gerçek sayılar denklemi sağlar ve çözüm kümesi gerçek sayılar kümesidir.
a = 0 ve b = 0 ise Ç = R

ÖRNEK: 3.(x − 2) = −6 + 3x denklemini çözelim.

3x − 6 = −6 + 3x

3x − 3x = −6 + 6

0 = 0

Denklemde x yerine hangi gerçek sayı verilirse verilsin eşitlik sağlanır. Ç = R

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!