Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme kurallarına geçmeden önce bölme işlemini ve bölme işlemindeki sayılar arasındaki ilişkiyi hatırlatmakta fayda var.

BÖLME İŞLEMİ

Bir bölme işleminde Bölünen = Bölen . Bölüm + Kalan eşitliği vardır.
(A, B, C, K birer doğal sayı ve B \(\neq\) 0 olmak üzere A sayısının B sayısına bölünmesiyle elde edilen bölüm C ve kalan K ise A = B . C + K eşitliği elde edilir.)

Örneğin yukarıdaki bölme işleminde 13 = 6 . 2 + 1 eşitliğinin sağlandığı görülmektedir.

Bölme işleminde kalan bölenden küçük olmak zorundadır.
( 0 ≤ K < B )

Örneğin yukarıdaki bölme işleminde kalan (1) bölenden (6) küçüktür.

Bölme işleminde bölüm kalandan büyük ise bölen ile bölüm yer değiştirebilir.
( K < C ise B ile C yer değiştirebilir.)

Örneğin yukarıdaki bölme işleminde kalan (1) bölümden (2) küçük olduğu için bölen (6) ile bölüm (2) yer değiştirebilir.

Bölme işleminde kalan “0” ise bu bölme işlemine kalansız bölme işlemi denir.
( K = 0 ise A sayısı B ile kalansız bölünür.)

Örneğin yukarıdaki bölme işleminde kalan (1) olduğu için bu bölme işlemi kalanlı bir bölme işlemidir.

2 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Birler basamağında 0, 2, 4, 6, 8 olan sayılar 2 ile kalansız (tam) bölünebilir. İki ile kalansız bölünebilen sayılara çift sayılar denir.

ÖRNEK: 126, 32, 2020 sayıları çift sayılardır ve 2 ile kalansız bölünebilirler.

ÖRNEK: 541A sayısı 2 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

2 ile kalansız bölünüyorsa çift sayıdır ve A = 0, 2, 4, 6, 8 olur. Cevap 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20’dir.

NOT: İki ile kalansız bölünemeyen sayılara tek sayılar denir. Diğer bir ifade ile birler basamağı 1, 3, 5, 7, 9 olan sayılar tek sayılardır. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1’dir.

ÖRNEK: 127, 33, 2021 sayıları tek sayılardır ve 2 ile bölündüğünde 1 kalanını verirler.

ÖRNEK: 276B sayısı 2’ye tam bölünemiyorsa B yerine gelebilecek rakamların çarpımı kaçtır?

2’ye tam bölünemiyorsa B tek sayıdır ve B = 1, 3, 5, 7, 9 olur. Cevap 1.3.5.7.9 = 945’tir.

3 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Rakamları toplamı 3’ün katı olan sayılar 3 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 2352 sayısı 3 ile tam bölünebilir, çünkü bu sayının rakamları toplamı: 2 + 3 + 5 + 2 = 12’dir.

ÖRNEK: 2020 sayısı 3 ile tam bölünemez, çünkü bu sayının rakamları toplamı: 2 + 0 + 2 + 0 = 4’tür.

NOT: Bir sayının 3 ile bölümünden kalanı, sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalanına eşittir.

ÖRNEK: 2021 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım.

2 + 0 + 2 + 1 = 5’tir. 5’in 3 ile bölümünden kalan 2 olduğu için 2021’in 3 ile bölümünden kalan 2’dir.

ÖRNEK: 276A sayısı 3 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

3 ile kalansız bölünüyorsa 2 + 7 + 6 + A = 15 + A sayısı 3’ün katı olmalıdır.

A yerine 0, 3, 6, 9 yazarsak bu sayının rakamları toplamı 3’ün katı olur.

A yerine yazabileceğimiz rakamların toplamı = 0 + 3 + 6 + 9 = 18’dir.

4 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Son iki basamağının oluşturduğu sayı 00 veya 4’ün katı olan sayılar 4 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 120, 312, 2000 sayıları 4’e tam bölünebilirler. 2345, 142, 215 sayıları 4’e tam bölünemez.

ÖRNEK: 871A sayısı 4 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

4 ile kalansız bölünüyorsa son iki basamağı: 12 ve 16 olabilir. A yerine yazılabilecek rakamların toplamı: 2 + 6 = 8’dir.

NOT: Bir sayının 4 ile bölümünden kalanı, son iki basamağındaki rakamların oluşturduğu sayının 4 ile bölümünden kalanına eşittir.

ÖRNEK: 2023 sayısının 4 ile bölümünden kalanı bulalım.

23 sayısının 4’e bölümünden kalan 3 olduğu için 2023 sayısının 4 ile bölümünden kalan 3’tür.

5 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Birler basamağında 0 veya 5 olan sayılar 5 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 2530 ve 5315 sayıları 5’e tam bölünebilir. 2019 ve 657 sayıları 5’e tam bölünemez.

NOT: Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı, birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalanına eşittir.

ÖRNEK: 2023 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.

2023 sayısı 5’e tam bölünemez, kalan 3’tür.

ÖRNEK: 569 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.

569 sayısı 5’e tam bölünemez. 9’un 5’e bölümünden kalan 4 olduğu için 569’un 5’e bölümünden kalan 4’tür.

8 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Son üç basamağının oluşturduğu sayı 000 veya 8’in katı olan sayılar 8 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 51 240, 97 096, 786 000 sayıları 8’e tam bölünebilirler. 21 425, 80 402, 12 193 sayıları 8’e tam bölünemez.

ÖRNEK: 95 1A2 sayısı 8 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

8 ile kalansız bölünüyorsa son üç basamağı: 112, 152 ve 192 olabilir. A yerine yazılabilecek rakamların toplamı: 1 + 5 + 9 = 15’tir.

NOT: Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı, son üç basamağındaki rakamların oluşturduğu sayının 8 ile bölümünden kalanına eşittir.

ÖRNEK: 65 538 sayısının 8 ile bölümünden kalanı bulalım.

538 sayısının 8’e bölümünden kalan 2 olduğu için 65 538 sayısının 8 ile bölümünden kalan 2’dir.

9 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Rakamları toplamı 9’un katı olan sayılar 9 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 5436 sayısı 9 ile tam bölünebilir, çünkü bu sayının rakamları toplamı: 5 + 4 + 3 + 6 = 18’dir.

ÖRNEK: 2021 sayısı 9 ile tam bölünemez, çünkü bu sayının rakamları toplamı: 2 + 0 + 2 + 1 = 5’tir.

NOT: Bir sayının 9 ile bölümünden kalanı, sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir.

ÖRNEK: 3471 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.

3 + 4 + 7 + 1 = 15’tir. 15’in 9 ile bölümünden kalan 6 olduğu için 3471’in 9 ile bölümünden kalan 6’dır.

ÖRNEK: 735A sayısı 9 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

9 ile kalansız bölünüyorsa 7 + 3 + 5 + A = 15 + A sayısı 9’un katı olmalıdır.

A yerine 3 yazarsak bu sayının rakamları toplamı 18 olur ve 9 ile kalansız bölünebilir.

10 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Birler basamağında 0 olan sayılar 10 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 5720 ve 37 590 sayıları 10’a tam bölünebilir. 2019 ve 8756 sayıları 10’a tam bölünemez.

NOT: Bir sayının 10 ile bölümünden kalanı birler basamağındaki rakama eşittir.

ÖRNEK: 2023 sayısının 10 ile bölümünden kalanı bulalım.

2023 sayısının birler basamağı 3 olduğu için 10 ile bölümünden kalan 3’tür.

ÖRNEK: 25 37A sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 ise 3 ile bölümünden kalanı bulalım.

10 ile bölümünden kalan 7 ise bu sayının birler basamağı 7’dir.

25 377 sayısının 3 ile bölümünden kalanını bulmak için rakamlarını toplarız.

2 + 5 + 3 + 7 + 7 = 24 olduğu için 3’e tam bölünür, kalan 0 olur.

11 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

abcdef gibi bir sayının 11 ile bölümünden kalanı bulmak için sayının birler basamağından başlayarak “+” ve “−” işaretleri sırayla yazılır ve aşağıdaki işlemler yapılır.

a b c d e f → (b + d + f) − (a + c + e) işleminin sonucu bulunur.
− + − + − +

Eğer sonuç 0 veya 11’in katı çıkarsa (…, −22, −11, 0, 11, 22, …) bu sayı 11’e kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 49 676 ve 708 785 sayılarının 11’e tam bölünüp bölünmediğini inceleyelim.

4 9 6 7 6 → (4 + 6 + 6) − (9 + 7) = 0
+ − + − +
Sonuç 0 olduğu için bu sayı 11’e tam bölünür.

7 0 8 7 8 5 → (0 + 7 + 5) − (7 + 8 + 8) = −11
− + − + − +
Sonuç −11 olduğu için bu sayı 11’e tam bölünür.

NOT: Bir sayının 11 ile bölümünden kalanı, “+” ve “−” işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalanına eşittir. (Sonuç negatif çıkarsa negatiflikten kurtulana kadar 11 eklenir.)

ÖRNEK: 50 129 ve 928 476 sayılarının 11’e bölümünden kalanlarını bulalım.

5 0 1 2 9 → (5 + 1 + 9) − (0 + 2) = 13
+ − + − +
Sonuç 13 olduğu için bu sayı 11’e tam bölünmez. 13’ün 11’e bölümünden kalan 2 olduğu için bu sayının da 11’e bölümünden kalan 2’dir.

9 2 8 4 7 6 → (2 + 4 + 6) − (9 + 8 + 7) = −12
− + − + − +
Sonuç −12 olduğu için bu sayı 11’e tam bölünmez. Pozitif yapana kadar 11 ekleriz. −12 + 11 = −1 , −1 + 11 = 10 olduğuna göre bu sayının 11’e bölümünden kalan 10’dur.

DİĞER BÖLÜNEBİLME KURALLARI

Aralarında asal iki sayıdan her birine bölünebilen bir sayı, bu sayıların çarpımına da bölünür.

•  2 ve 3  ile bölünebilen bir sayı,  6  ile bölünebilir.
•  3 ve 4  ile bölünebilen bir sayı, 12 ile bölünebilir.
•  3 ve 5  ile bölünebilen bir sayı, 15 ile bölünebilir.
•  2 ve 9  ile bölünebilen bir sayı, 18 ile bölünebilir.
•  3 ve 8  ile bölünebilen bir sayı, 24 ile bölünebilir.
• 3 ve 10 ile bölünebilen bir sayı, 30 ile bölünebilir.
•  4 ve 9  ile bölünebilen bir sayı, 36 ile bölünebilir.
• 4 ve 11 ile bölünebilen bir sayı, 44 ile bölünebilir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!