Sayı Kümeleri

İnsanlar tarih boyunca sayılara ihtiyaç duymuş ve kullanmıştır. İnsanların hayvanları sayma ihtiyacından dolayı sayıların ilk defa ortaya çıktığı ve kullanıldığı düşünülmektedir. Zamanla farklı ihtiyaçlar farklı sayı kümeleri ile giderilmiştir. Bu konuda farklı sayı kümelerini ve sayı kümelerinin birbiriyle ilişkisini göreceğiz.

RAKAM VE SAYI

Sayıları yazmak için kullanılan sembollere rakam denir. Bir çokluğu belirtmen için bir veya birden fazla rakamla yazılan ifadeye sayı denir.

Kullandığımız 10’luk sayı sisteminde rakamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olmak üzere 10 adettir.

1923, 100, 5 ve 81 birer sayıdır.

DOĞAL SAYILAR KÜMESİ

N = { 0, 1, 2, 3, 4, … } kümesine doğal sayılar kümesi denir ve ” N “ harfi ile isimlendirilir.

ÖRNEK: En küçük doğal sayı ile iki basamaklı en büyük doğal sayının toplamı kaçtır?

En küçük doğal sayı 0’dır.

En büyük iki basamaklı doğal sayı 99’dur.

0 + 99 = 99 cevabı bulunur.

TAM SAYILAR KÜMESİ

Z = { …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } kümesine tam sayılar kümesi denir ve ” Z “ harfi ile isimlendirilir.

  • 0’dan küçük tam sayılara negatif tam sayılar denir ve ” Z “ ile gösterilir. Z = { −1, −2, −3, … }
  • 0’dan büyük tam sayılara pozitif tam sayılar denir ve ” Z+ ile gösterilir. Z+ = { 1, 2, 3, …}
  • Z = Z \(\cup\) {0} \(\cup\) Z+

ÖRNEK: En küçük iki basamaklı tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

En küçük iki basamaklı tam sayı −99’dur.

En küçük pozitif tam sayı 1’dir.

−99 + 1 = −98 cevabı bulunur.,

Her doğal sayı aynı zamanda tam sayıdır.

RASYONEL SAYILAR KÜMESİ

a ve b aralarında asal tam sayılar ve b sıfırdan farklı olmak üzere \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılabilen sayıların kümesine rasyonel sayılar kümesi denir ve ” Q “ harfi ile isimlendirilir.

  • Q = { \(\frac{a}{b}\) | a, b \(\in\) Z , b \(\neq\) 0 ve EBOB(a,b) = 1 }
  • 0’dan küçük rasyonel sayılara negatif rasyonel sayılar denir ve ” Q “ ile gösterilir.
  • 0’dan büyük rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar denir ve ” Q+ ile gösterilir.
  • Q = Q \(\cup\) {0} \(\cup\) Q+

ÖRNEK: Aşağıdakilerden hangilerinin rasyonel sayı olduğunu belirleyelim.

► \(7\;=\frac71\) şeklinde yazılabildiği için doğal sayılar rasyonel sayıdır.

► \(-5\;=-\frac51\) şeklinde yazılabildiği için tam sayılar rasyonel sayıdır.

► \(0\;=\frac01\) şeklinde yazılabildiği için “0” rasyonel sayıdır.

► \(-1\frac35=-\frac85\) şeklinde yazılabildiği için kesirler rasyonel sayıdır.

► \(0,2=\frac2{10}\) şeklinde yazılabildiği için ondalık sayılar rasyonel sayıdır.

► \(1,\overline3=1,333…\;=\frac{12}9\) şeklinde yazılabildiği için devirli sayılar rasyonel sayıdır.

► \(\frac90\) ifadesinde paydada sıfır olduğu için rasyonel sayı değildir, tanımsızdır.

Her doğal sayı, tam sayı aynı zamanda rasyonel sayıdır.

İRRASYONEL SAYILAR KÜMESİ

a ve b aralarında asal tam sayılar ve b sıfırdan farklı olmak üzere \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılamayan sayıların kümesine irrasyonel sayılar kümesi denir ve ” Q’ “ harfi ile isimlendirilir.

  • Kök dışına tam olarak çıkamayan sayılar irrasyonel sayıdır.
  • Ondalık açılımı sınırsız ve devirsiz olan sayılar irrasyonel sayıdır.

ÖRNEK: Aşağıdakilerden hangilerinin irrasyonel sayı olduğunu belirleyelim.

► \(\sqrt{20}\) kök dışına tam çıkamadığı için irrasyonel sayıdır.

► \(\sqrt{20}\) = 4,4721359549… şeklinde sınırsız ve devirsiz olduğu için de irrasyonel sayıdır.

► \(π\) sayısının ondalık açılımı 3,141592653… şeklinde sınırsız ve devirsiz olduğu için \(π\) sayısı irrasyonel bir sayıdır.

► \(e\) sayısının ondalık açılımı 2,718281828259… şeklinde sınırsız ve devirsiz olduğu için \(e\) sayısı irrasyonel bir sayıdır.

► \(\frac20\) ifadesinde paydada sıfır olduğu için irrasyonel sayı değildir, tanımsızdır.

ÖRNEK: \(\sqrt{2}\) sayısının sayı doğrusundaki yerini belirleyelim.

\(\sqrt{2}\) = 1,41421356237… olduğu için sayı doğrusunda 1,4’e çok yakındır. \(\sqrt{2}\)‘nin sayı doğrusundaki yerini tam olarak belirleyebilmek için Pisagor Teoremi’ni kullanabiliriz.

Dik kenar uzunlukları 1 br olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüs uzunluğu \(\sqrt{2}\) br’dir. Sayı doğrusunda bir dik kenarı [0,1] aralığı olan ve dik köşesi 1 üzerinde olan ikizkenar dik üçgen çizeriz ve bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu pergel ile sayı doğrusunda işaretleriz. İşaretlediğimiz bu nokta \(\sqrt{2}\)‘nin konumudur.

Kök 2 'nin Sayı Doğrusundaki Yeri

Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesi ayrık kümelerdir. Q \(\cap\) Q’ = \(\varnothing\)

GERÇEK SAYILAR KÜMESİ

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine gerçek (reel) sayılar kümesi denir ve ” R “ harfi ile isimlendirilir.

  • Gerçek sayılar rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. R = Q \(\cup\) Q’
  • 0’dan küçük gerçek sayılara negatif gerçek sayılar denir ve ” R “ ile gösterilir.
  • 0’dan büyük gerçek sayılara pozitif gerçek sayılar denir ve ” R+ ile gösterilir.
  • R = R \(\cup\) {0} \(\cup\) R+

Gerçek sayıların geometrik temsili sayı doğrusudur. Tüm gerçek sayılar sayı doğrusunda yer alır ve gerçek sayılar sayı doğrusunu tamamen doldurur.

SAYI KÜMELERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

Sayı kümeleri arasında N \(\subset\) Z \(\subset\) Q \(\subset\) R ilişkisi ve Q \(\cup\) Q’ = R ilişkisi vardır.

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişki Venn Şeması

Bunları da beğenebilirsin