Kartezyen Çarpım

SIRALI İKİLİ

ÖRNEK: Aşağıdaki kişilerin konumlarını ilk bileşen sütun olacak şekilde sıralı ikili olarak gösterelim.

Sıralı ikililer Ece (3, 1) – Ali (1, 2) – Nil (2, 3) – Can (4, 4) şeklinde olur.

Sıralı İkililerin Eşitliği

(a, b) ve (c, d) sıralı ikilileri birbirine eşit ise bu durum (a, b) = (c, d) şeklinde gösterilir. Bu durumda a = c ve b = d olur.

ÖRNEK: (2x + 1 , 9) = (11, 3y) olduğuna göre x + y kaçtır bulalım.

Eşit sıralı ikililerde aynı sıradaki bileşenler birbirine eşittir.

2x + 1 = 11 olur ve buradan x = 5 bulunur.

9 = 3y olur ve buradan y = 3 bulunur.

x + y = 5 + 3 = 8 olarak sonuç bulunur.

KARTEZYEN ÇARPIM KÜMESİ

AxB kümesinin ortak özellik yöntemi ile AxB = { (a, b) | a \(\in\) A ve b \(\in\) B} şeklinde ifade edilir.

ÖRNEK: A = {a, b, c} ve B = {1, 2} kümeleri verilsin. AxB ve BxA kümelerini yazalım.

► AxB kümesini yazmak için A’daki elemanların her birini B’dekilerle tek tek eşleştirip yazalım.

AxB = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} olur.

► BxA kümesini yazmak için B’deki elemanların her birini A’dakilerle tek tek eşleştirip yazalım.

BxA = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} olur.

KARTEZYEN ÇARPIM KÜMESİNİN GRAFİĞİ

Kartezyen çarpım grafiği çizilirken kartezyen çarpım kümesinin elemanları birinci bileşenleri x ekseninde, ikinci bileşenleri y ekseninde olacak şekilde işaretlenir.

ÖRNEK: A = {2, 3} ve B = {1, 2, 3} kümeleri verilsin. AxB kümesini bulalım ve grafiğini çizelim.

AxB = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

x ekseni A, y ekseni B olacak şekilde grafik çizilir.

ÖRNEK: A = {0, 1, 2} ve B = {−1, 0, 2} kümeleri verilsin. BxA kümesini bulalım ve grafiğini çizelim.

BxA = {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 2), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}

x ekseni B, y ekseni A olacak şekilde grafik çizilir.

KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ

1) AxB \(\neq\) BxA

Kartezyen çarpımda değişme özelliği yoktur.

2) Ax\(\varnothing\) = \(\varnothing\)xA = \(\varnothing\)

Bir kümenin boş küme ile kartezyen çarpımı boş kümedir.

3) s(AxB) = s(A) . s(B)

A ile B’nin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları çarpımına eşittir.

4) Ax(B \(\cap\) C) = (AxB) \(\cap\) (AxC)

Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği vardır.

5) Ax(B \(\cup\) C) = (AxB) \(\cup\) (AxC)

Kartezyen çarpımın birleşim üzerine dağılma özelliği vardır.