Kümelerde İşlemler

KÜMELERDE KESİŞİM VE BİRLEŞİM İŞLEMİ

A ve B gibi iki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin kesişim kümesi denir ve A  \(\cap\) B biçiminde gösterilir.

A ve B kümelerinin kesişimi ortak özellik yöntemi ile A \(\cap\) B = { x | x  \(\in\) A ve x \(\in\) B } şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin kesişim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.
Kümelerde Kesişim İşlemi

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim kümelerini bulalım.

► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

A \(\cap\) B = { 3, 4 }

► K = { a, b, c } ve L = { k, l, m, n, p }

K \(\cap\) L = { }

► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }

P \(\cap\) R \(\cap\) S = { 4 }

A ve B gibi iki kümenin bütün elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin birleşim kümesi denir ve A  \(\cup\) B biçiminde gösterilir.

A ve B kümelerinin birleşimi ortak özellik yöntemi ile A \(\cup\) B = { x | x  \(\in\) A veya x \(\in\) B } şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin birleşim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.
Kümelerde Birleşim İşlemi

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin birleşim kümelerini bulalım.

► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

A \(\cup\) B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

► K = { a, b, c } ve L = { k, l, m }

K \(\cup\) L = { a, b, c, k, l, m }

► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }

P \(\cup\) R \(\cup\) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.

Kümelerde Kesişim Birleşim Örneği

P \(\cap\) R = { E, İ }

P \(\cup\) R = { C, L, E, İ, N, S, B }

NOT: İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin eleman sayısı çıkarılarak bulunur.

s(A \(\cup\) B) = s(A) + s(B) − s(A \(\cap\) B)

s(P \(\cup\) R) = s(P) + s(R) − s(P \(\cap\) R)

s(P \(\cup\) R) = 4 + 5 − 2 = 7

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.

Kümelerde Kesişim Birleşim Örneği

S \(\cap\) M = M = { 7, 51 }

S \(\cup\) M = S = { 7, 51, 12, 30 }

NOT: Biri diğerinin alt kümesi olan iki kümenin kesişimi kapsanan kümeye, birleşimi kapsayan kümeye eşittir.

A \(\subset\) B ise s(A \(\cap\) B) = s(A) ve s(A \(\cup\) B) = s(B) olur.

s(M \(\cap\) S) = s(M) = 2

s(M \(\cup\) S) = s(S) = 4

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.

Ayrık Kümeler

K \(\cap\) L = { }

K \(\cup\) L = { 3, 5, 7, 0, 4, 8 }

NOT: Kesişimleri boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamına eşittir.

A ve B ayrık kümeler ise s(A \(\cup\) B) = s(A) + s(B) olur.

s(K \(\cup\) L) = s(K) + s(L)

s(K \(\cup\) L) = 3 + 3 = 6

Kesişim ve Birleşim İşlemlerinin Özellikleri

1) TEK KUVVET ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.

A \(\cap\) A = A

Birleşim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.

A \(\cup\) A = A

2) DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin değişme özelliği vardır.

A \(\cap\) B = B \(\cap\) A

Birleşim işleminin değişme özelliği vardır.

A \(\cup\) B = B \(\cup\) A

3) BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.

A \(\cap\) ( B \(\cap\) C ) = ( A \(\cap\) B ) \(\cap\) C

Birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.

A \(\cup\) ( B \(\cup\) C ) = ( A \(\cup\) B ) \(\cup\) C

4) YUTAN VE BİRİM ELEMAN

Kesişim işleminin yutan elemanı boş kümedir.

A \(\cap\) \(\varnothing\) = \(\varnothing\)

Birleşim işleminin etkisiz elemanı boş kümedir.

A \(\cup\) \(\varnothing\) = A

5) DAĞILMA ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin birleşim üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

A \(\cap\) ( B \(\cup\) C ) = ( A \(\cap\) B ) \(\cup\) ( A \(\cap\) C )

( B \(\cup\) C ) \(\cap\) A = ( B \(\cap\) A ) \(\cup\) ( C \(\cap\) A )

Birleşim işleminin kesişim üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

A \(\cup\) ( B \(\cap\) C ) = ( A \(\cup\) B ) \(\cap\) ( A \(\cup\) C )

( B \(\cap\) C ) \(\cup\) A = ( B \(\cup\) A ) \(\cap\) ( C \(\cup\) A )

KÜMELERDE FARK İŞLEMİ

A ve B herhangi iki küme olmak üzere A kümesinde olup B kümesinde olmayan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B kümesinden farkı denir. A − B ya da A \ B ile gösterilir.

A kümesinin B kümesinden farkı ve B kümesinin A kümesinden farkı ortak özellik yöntemi ile
A \ B = { x | x \(\in\) A ve x \(\notin\) B } ve B \ A = { x | x \(\in\) B ve x \(\notin\) A } şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin birbirlerinden farkı, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.

Kümelerde Fark İşlemi

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin birbirinden farklarını bulalım.

► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5 }

A \ B = { 1, 2 }

B \ A = { 5 }

► K = { a, b, c } ve L = { ğ, ş }

K \ L = K = { a, b, c }

L \ K = L = { ğ, ş }

NOT: Ayrık iki kümede bir kümenin diğerinden farkı kendisine eşittir. A \ B = A ve B \ A = B

Fark İşleminin Özellikleri

1) A \(\neq\) B ise A \ B \(\neq\) B \ A olur.

Fark işleminde değişme özelliği yoktur.

2) A \ A = \(\varnothing\)

Bir kümenin kendisinden farkı boş kümedir.

3) A \ \(\varnothing\) = A

Bir kümenin boş kümeden farkı kendisidir.

4) A \ E = \(\varnothing\)

Bir kümenin evrensel kümeden farkı boş kümedir.

BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

E evrensel küme olmak üzere A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir ve A’ ile gösterilir.

A’nın tümleyen kümesi A’ ortak özellik yöntemi ile A’ = { x | x  \(\notin\) A ve x \(\in\) E } şeklinde ifade edilir.

ÖRNEK: Aşağıda Evrensel küme içerisinde verilen A kümesini inceleyelim.

Kümelerde Tümleme Örnek

► A’ = { 0, 4 }

► ( A’ )’ = { 1, 2, 3 } = A

► A \(\cap\) A’ = \(\varnothing\)

► A \(\cup\) A’ = { 0, 1, 2, 3, 4 } = E

► s(A) \(\cup\) s(A’) = 3 + 2 = 5 = s(E)

► E \ A = { 0, 4 } = A’

► E’ = \(\varnothing\)

Şimdi bu örnekten yola çıkarak tümleyenin özelliklerini yazalım.

Tümleme ile İlgili Özellikler

1) ( A’ )’ = A

Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.

2) A \(\cap\) A’ = \(\varnothing\)

Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi boş kümedir.

3) A \(\cup\) A’ = E

Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.

4) s(A) \(\cup\) s(A’) = s(E)

Bir kümenin eleman sayısı ile tümleyeninin eleman sayısının toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.

5) E \ A = A’

Evrensel kümenin bir kümeden farkı o kümenin tümleyenidir.

6) E’ = \(\varnothing\)

Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir.

7) \(\varnothing\)‘ = E

Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir.

NOT: Aşağıda önemli eşitlikler verilmiştir. Bu eşitliklerin doğruluğunu Venn şeması çizerek kolayca görebilirsiniz.

A \ B = A \(\cap\) B’ ve B \ A = B \(\cap\) A’

DE MORGAN KURALLARI

Sembolik mantıkta olduğu gibi kümelerde de De Morgan kuralları bulunur.

(A \(\cup\) B)’ = A’ \(\cap\) B’

(A \(\cap\) B)’ = A’ \(\cup\) B’

şeklinde verilen kurallara De Morgan Kuralları denir.

KÜMELER İLE SEMBOLİK MANTIK ARASINDAKİ İLİŞKİ

Kümeler ile sembolik mantık arasındaki ilişkilerin bazıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

SEMBOLİK MANTIKKÜMELER
0\(\varnothing\)
1E
\(\cap\)
\(\cup\)
Değili (‘)Tümleyeni (‘)
\(\equiv\)=
(p’)’ \(\equiv\) p(A’)’ = A
p ∧ p’ \(\equiv\) 0A \(\cap\) A’ = \(\varnothing\)
p ∨ p’ \(\equiv\) 1A \(\cup\) A’ = E
1 ∧ 0 \(\equiv\) 0E \(\cap\) \(\varnothing\) = \(\varnothing\)
1 ∨ 0 \(\equiv\) 1E \(\cup\) \(\varnothing\) = E
(p ∧ q)’ \(\equiv\) p’ ∨ q’(A \(\cap\) B)’ = A’ \(\cup\) B’
(p ∨ q)’ \(\equiv\) p’ ∧ q’(A \(\cup\) B)’ = A’ \(\cap\) B’
p ∧ (q ∨ r) \(\equiv\) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)A \(\cap\) ( B \(\cup\) C ) = ( A \(\cap\) B ) \(\cup\) ( A \(\cap\) C )
p ∨ (q ∧ r) \(\equiv\) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)A \(\cup\) ( B \(\cap\) C ) = ( A \(\cup\) B ) \(\cap\) ( A \(\cup\) C )
Bunları da beğenebilirsin