Kümeler
KÜME KAVRAMI
Küme Nedir?
Tanımdaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan nesneler demektir. Örneğin “iyi insanlar” küme belirtmez çünkü iyi insanlar herkes için aynı değildir. Daha fazla örnek aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Küme Belirtmez | Küme Belirtir |
---|---|
|
|
Eleman ve Eleman Sayısı
ÖRNEK: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.
Pazar A kümesinin elemanıdır. → Pazar ∈ A
Salı A kümesinin elemanı değildir. → Salı ∉ A
A kümesinin eleman sayısı 3′ tür. → s(A) = 3
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Liste Yöntemi
ÖRNEK: Rakamlar kümesini liste yöntemiyle yazalım.
Rakamlar kümesini R harfiyle isimlendirecek olursak R = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 }
ÖRNEK: MATEMATİK kelimesinin harflerini liste yöntemiyle yazalım.
Bu kümeyi M harfiyle isimlendirecek olursak M = { M, A, T, E, İ, K }
ÖRNEK: H = { #, AA, 2, 34 } kümesinin elemanlarını belirleyelim.
H kümesi 4 elemanlıdır. Bunlar #, AA, 2 ve 34’tür.
Ortak Özellik Yöntemi
Öyle ki anlamına gelen “ | ” sembolü yerine “ : ” sembolü de kullanılabilir.
ÖRNEK: Aşağıda liste yöntemiyle verilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazalım.
► A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
► B = { a, b, c, ç }
► C = { 10, 11, 12, 13 }
Kümeler ortak özellik yöntemiyle farklı şekillerde de yazılabilir. Önemli olan yazılan kümenin tam olarak (ne eksik ne fazla) kümenin elemanlarını belirtmesidir.
► A = { x | x, bir rakam }
► B = { x : x, Alfabemizin ilk dört harfinden biri }
► C = { x : 9 < x < 14 , x bir doğal sayı }
Venn Şeması
ÖRNEK: A = { a, b, c } kümesini Venn şemasıyla gösterelim.
KÜMELER
Boş Küme
ÖRNEK: Ç harfiyle başlayan aylar kümesine A kümesi dersek A kümesi boş küme olur.
Bu durum A = { } ya da A = \(\varnothing\) şeklinde gösterilir ve s(A) = 0 olur.
NOT: { \(\varnothing\) } ve { 0 } kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip kümelerdir.
Evrensel Küme
ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } ve B = { 5, 12 } kümeleri için evrensel kümeler yazalım.
► E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12 }
► E = { x | x, bir doğal sayı }
► E = { x | 0 < x < 20 , x bir tam sayı }
Sonlu ve Sonsuz Küme
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerden hangilerinin sonlu hangilerinin sonsuz küme olduğunu belirleyelim.
► A = { a, b, c, ç } → A kümesi sonlu kümedir.
► B = { x | 12 < x , x bir tam sayı } → B kümesi sonsuz kümedir.
► C = { x | 1 < x < 33 , x bir doğal sayı } → C kümesi sonlu kümedir.
► D = { x | 1 < x < 33 , x bir rasyonel sayı } → D kümesi sonsuz kümedir.
ALT KÜME
A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir ve A \(\subset\) B ya da A \(\subseteq\) B ile gösterilir. Bu durumda B kümesi A kümesini kapsar. Bu ifade ise B \(\supset\) A ya da B \(\supseteq\) A ile gösterilir.
ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } ve B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümelerini Venn şemasıyla gösterelim.
Venn şemasında da görüldüğü gibi A kümesinin her bir elamanı B kümesinin içinde yer almaktadır. Bu durum “A kümesi B kümesinin alt kümesidir (A \(\subset\) B) ” veya “B kümesi A kümesini kapsar, (B \(\supset\) A) ” şeklinde ifade edilir.
ÖRNEK: K = { a, b, c, ç } ve L = { a, d, e, f, c } kümeleri birbirinin alt kümesi değildir. K \(\not\subset\) L ve aynı zamanda L \(\not\subset\) K olur.
Alt Kümenin Özellikleri
► Boş küme her kümenin alt kümesidir. \(\varnothing \subset\) A
► Her küme evrensel kümenin alt kümesidir. A \(\subset\) E
► Her küme kendisinin alt kümesidir. A \(\subset\) A
► A, B ve C kümeleri için A \(\subset\) B ve B \(\subset\) C ise A \(\subset\) C’dir.
Alt Küme Sayısı
ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } kümesinin tüm alt kümelerini yazalım ve alt küme sayısını bulalım.
0 elemanlı alt kümeleri 1 tanedir. → { }
1 elemanlı alt kümeleri 3 tanedir. → {1} , {2} ve {3}
2 elemanlı alt kümeleri 3 tanedir. → {1,2} , {1,3} ve {2,3}
3 elemanlı alt kümeleri 1 tanedir. → {1,2,3}
A kümesinin toplam 8 alt kümesi vardır. Bu sayı kısaca 23 = 8 şeklinde bulunabilir.
Öz Alt Küme Sayısı
ÖRNEK: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin öz alt küme sayısı 26 − 1 = 63 şeklinde bulunur.
EŞİT KÜME
ÖRNEK: K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 } ve L = { x | x , bir rakam } kümeleri eşit kümelerdir ve bu durum K = L şeklinde gösterilir.
NOT: Eşit olmayan A ve B kümeleri A \(\neq\) B şeklinde gösterilir.
ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |