Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi
✓ Çarpma İşleminin Özellikleri
✓ Değişme, Birleşme ve Dağılma Özelliği
✓ Etkisiz, Yutan ve Ters Eleman
✓ Çarpmada 0, 1 ve −1’in Etkisi

RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yaparken tam sayılarda çarpmada öğrendiklerimizi ve kesirlerde çarpmada öğrendiklerimizi kullanacağız. Kesirlerde öğrendiğimizin üzerine negatif sayılarla işlem yapmayı da öğreneceğiz.

ÖRNEK: \(\frac54\cdot\frac{-3}2\) işleminin sonucunu bulalım.

\(\frac54\cdot\frac{-3}2=\frac{5.(-3)}{4.2}=\frac{-15}8\) bulunur.

ÖRNEK: \(-2\frac13\cdot\frac{-2}7\) işleminin sonucunu bulalım.

Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çeviriyoruz, sonra çarpma işlemini yapıyoruz.

\(-2\frac13\cdot\frac{-2}7=-\frac73\cdot\frac{-2}7=\frac{-14}{21}=\frac23\) olarak bulunur.

Ondalık gösterimi verilen sayıları rasyonel olarak yazdıktan sonra çarpma işlemi yapabiliriz.

ÖRNEK: \(-2.3,2\) işleminin sonucunu bulalım.

\(-2.3,2=\frac{-2}1\cdot\frac{32}{10}=\frac{-64}{10}=-\frac{32}5\) olur.

Rasyonel Sayılarda Çarpma İşleminin Modellemesi

Modelleme yapılırken çarpılan iki kesirden biri yatay biri dikey olarak ayrı ayrı modellenir ve üst üste konulur. İki renge de boyanmış küçük dikdörtgenlerin sayısının bütün dikdörtgenlere oranı da cevap olur.

ÖRNEK: \(\frac34\cdot\frac23=\frac6{12}\) işlemini modelleyelim.

Bir dikdörtgeni 4 satıra böler 3 tanesini boyarız, aynı boyutta başka bir dikdörtgeni 3 sütuna böler 2 tanesini boyarız.

Bu iki dikdörtgeni üst üste koyduğumuzda her iki renge boyanmış dikdörtgen sayısı pay, toplam dikdörtgen sayısı payda olur.

RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Değişme Özelliği

Çarpılan sayıların yeri değişse de işlemin sonucu değişmediği için rasyonel sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

ÖRNEK: Değişme özelliğini şu şekilde gösterebiliriz

► \(\frac{-1}4\cdot\frac{-7}4=\frac{-7}4\cdot\frac{-1}4\)

Birleşme Özelliği

İkiden fazla sayı çarpılırken parantez koyup önce iki tanesini çarpıp sonuçla diğerini çarpmak sonucu değiştirmez. Buna birleşme özelliği denir.

ÖRNEK: Birleşme özelliğini şu şekilde gösterebilir

► \(\left(\frac17\cdot\frac27\right)\cdot\frac{-5}7=\frac17\cdot\left(\frac27\cdot\frac{-5}7\right)\)

► \(\left(\frac2{49}\right)\cdot\frac{-5}7=\frac17\cdot\left(\frac{-10}{49}\right)\)

► \(\frac{-10}{343}=\frac{-10}{343}\)

Dağılma Özelliği

Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

Aşağıdaki örnekte çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğini göstereceksiniz. Aynı şekilde aradaki işlem çıkarma olursa çarpmayı çıkrama üzerine dağıtırız.

► \(\frac1{22}\cdot\left(\frac{44}5+\frac{66}{10}\right)\)

► \(\left(\frac1{22}\cdot\frac{44}5\right)+\left(\frac1{22}\cdot\frac{66}{10}\right)\)

► \(\left(\frac1{22}\cdot\frac{\displaystyle22}5\right)+\left(\frac1{22}\cdot\frac{\displaystyle66}{10}\right)\)

► \(\frac25+\frac3{10}=\frac4{10}+\frac3{10}=\frac7{10}\)

Etkisiz Eleman

Bir sayıyı 1 ile çarparsak sonuç sayının kendisi olur. Bu yüzden “1” çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.

ÖRNEK: Etkisiz elemanı şu şekilde gösterebiliriz

► \(-\frac9{16}\cdot1=-\frac9{16}\)

Yutan Eleman

Bir sayıyı sıfır ile çarparsak sonuç “0” olur. Bu yüzden “0” çarpma işleminin yutan elemanıdır.

ÖRNEK: Yutan elemanı şu şekilde gösterebiliriz

► \(-\frac37\cdot0=0\)

Çarpma İşleminde −1’in Etkisi

Bir sayıyı −1 ile çarparsak sonuç o sayının toplama işlemine göre tersi olur.

ÖRNEK: Çarpma işleminde −1’in etkisini şu şekilde gösterebiliriz

► \(-\frac23\cdot\left(-1\right)=\frac23\)

Ters Eleman

Çarpımları 1 olan iki rasyonel sayı çarpma işlemine göre birbirinin tersidir. Bir sayının çarpma işlemine göre tersini bulmak için pay ve paydasının yeri değiştirilir.

ÖRNEK: Bir sayının çarpma işlemine göre tersini şu şekilde gösterebiliriz

► \(-\frac56\) sayısının çarpma işlemine göre tersi \(-\frac65\) ‘tir.

Tam sayılı kesirlerin çarpma işlemine göre tersi bulunurken önce bileşik kesre çevrilir.

ÖRNEK: \(2\frac13\) ‘ün çarpma işlemine göre tersi \(\frac37\)‘dir.

Tam sayıların çarpma işlemine göre tersi bulunurken paydasına 1 yazılarak ters çevrilir.

\(-7\) ‘nin çarpma işlemine göre tersi \(-\frac17\) ‘dir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: